312用二分法求方程的近似解.

点击进入相应模块点击进入相应模块点击进入相应模块点击进入相应模块【点拨】点击进入相应模块点击进入相应模块点击进入相应模块【提示】【思考】点击进入相应模块1.准确理解“二分法”的含义二分就是平均分成两部分.二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精确度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点.二分法概念的理解【名师指津】点击进入相应模块2.使用“二分法”所具备的条件“二分法”与判定函数零点的定义密切相关，只有满足函数图象在零点附近连续且在该零点左右函数值异号才能应用“二分法”求函数零点.点击进入相应模块【特别提醒】注意使用“二分法”的两个前提条件，缺一不可.点击进入相应模块【例1】下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是()点击进入相应模块【审题指导】题目中给出了各个函数的图象，通过图象与x轴的交点，结合二分法的概念以及使用二分法求函数零点的条件，判断是否可以使用二分法.【规范解答】选B.利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点.由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点.点击进入相应模块1.用二分法求函数的零点应遵循的原则首先要选好计算的初始区间，这个区间既要包含所求的零点，又要使其长度尽量小，其次要根据给定的精确度，及时检验所得区间的端点的差的绝对值是否小于精确度(精确到给定的精确度)，以决定是停止还是继续计算.用二分法求函数零点【名师指津】点击进入相应模块2.用二分法求函数的零点使用的方法用二分法求函数的零点的近似值，可借助于计算器一步步求解即可，在计算时可借助于表格或数轴清晰地描述逐步缩小零点所在的区间的过程，在区间长度小于精确度ε的时候，运算结束.点击进入相应模块【特别提醒】(1)求函数的近似零点时，所要求的精确度不同，得到的结果也不相同.(2)求函数零点的近似值时，由于所选取的起始区间不同，最后得到的结果可以不同，但它们都是符合所给定的精确度的.点击进入相应模块【例2】用二分法求函数f(x)=x3-x-1在区间［1,1.5］内的一个零点(精确度0.01).【审题指导】本题已给出函数表达式和规定的区间求零点，可根据二分法求函数零点的步骤逐次计算缩小区间，直到达到所要求的精确度停止计算，确定出零点的近似值.点击进入相应模块【规范解答】经试算f(1)＜0,f(1.5)＞0，所以函数在［1,1.5］内存在零点x0.取(1，1.5)的中点x1=1.25，经计算f(1.25)＜0，因为f(1.5)·f(1.25)＜0，所以x0∈(1.25,1.5)，点击进入相应模块如此继续下去，如下表：点击进入相应模块因为|1.328125-1.3203125|=0.0078125＜0.01，所以函数f(x)=x3-x-1精确度为0.01的一个近似零点可取为1.328125.点击进入相应模块【例】用二分法求函数y=x3-3的一个正零点(精确度0.01).【审题指导】本题给出了具体的函数，可转化为求方程的解，利用二分法，需先选定初始区间，用二分法逐次计算，考虑精确度,确定出零点.点击进入相应模块【规范解答】由于f(1)=-2＜0，f(2)=5＞0，因此可取区间［1，2］作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，见下表点击进入相应模块从表中可知|1.4453125-1.4375|=0.0078125＜0.01,所以函数y=x3-3的一个正零点可近似取1.4453125.点击进入相应模块求方程近似解的常用方法对于求形如f(x)=g(x)的方程的近似解，可以通过移项转化成求形如F(x)=f(x)-g(x)=0的方程的近似解，然后按照二分法求函数零点近似值的步骤求解.用二分法求方程的近似解【名师指津】点击进入相应模块【例3】求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1).【审题指导】本题给出了方程的具体表达形式，求其近似解，可利用转化思想，构造函数，转化成求函数的零点近似值.点击进入相应模块【规范解答】设f(x)=x2-2x-1.∵f(2)=-1＜0，f(3)=2＞0,∴在区间(2，3)内，方程x2-2x-1=0有根，记为x0.取2与3的平均数2.5，∵f(2.5)=0.250,∴2x02.5;再取2与2.5的平均数2.25，∵f(2.25)=-0.43750,∴2.25x02.5;点击进入相应模块如此继续下去，有f(2.375)＜0,f(2.5)＞0x0∈(2.375,2.5)；f(2.375)＜0,f(2.4375)＞0x0∈(2.375,2.4375)∵|2.375-2.4375|=0.0625＜0.1,∴方程x2=2x+1的一个精确度为0.1的近似解可取为2.4375.点击进入相应模块【典例】(12分)用二分法求的近似值(精确度0.1).【审题指导】本题要求的近似值,可首先把确定为某方程的解,再用二分法求方程的解的近似值.555点击进入相应模块【规范解答】设则x2=5，即x2-5=0,令f(x)=x2-5.因为f(2.2)=-0.16＜0.……………………………………2分f(2.4)=0.76＞0，所以f(2.2)·f(2.4)＜0，说明这个函数在区间(2.2，2.4)内有零点x0,…………4分取区间(2.2，2.4)的中点x1=2.3，则f(2.3)=0.29.……6分x=5,点击进入相应模块因为f(2.2)·f(2.3)＜0,∴x0∈(2.2,2.3)…………………………………………8分再取区间(2.2,2.3)的中点x2=2.25,f(2.25)=0.0625.因为f(2.2)·f(2.25)＜0,所以x0∈(2.2,2.25).……………………………………10分由于|2.25-2.2|=0.05＜0.1,所以的近似值可取为2.25.…………………………12分5点击进入相应模块【误区警示】对解答本题时易犯的错误具体分析如下：点击进入相应模块1.下列函数中不能用二分法求零点的是()(A)f(x)=2x+3(B)f(x)=lnx+2x-6(C)f(x)=x2-2x+1(D)f(x)=2x-1【解析】选C.因为f(x)=(x-1)2≥0，即含有零点的区间［a,b］不满足f(a)·f(b)＜0.点击进入相应模块2.方程x5-x-1=0的一个正零点所在的区间可能是()(A)［0，1］(B)［1,2］(C)［2,3］(D)［3，4］【解析】选B.令f(x)=x5-x-1，f(0)=-1＜0,f(1)=-1＜0,f(2)=29＞0，f(3)＞0,f(4)＞0,∴零点在［1,2］内.点击进入相应模块3.设函数y=x2与的图象的交点为(x0,y0)，则x0所在的区间是()(A)(0,1)(B)(1,2)(C)(2,3)(D)(3,4)x21y=()2点击进入相应模块【解析】选B.令则f(0)=-4＜0,f(1)=-1＜0,f(2)=3＞0,f(3)0,f(4)0,∴f(x)的零点在区间(1,2)内，即函数y=x2与的图象的交点的横坐标x0∈(1,2).2x21f(x)=x(),2x21y=()2点击进入相应模块4.在用二分法求方程f(x)=0在［0,1］上的近似解时，经计算，f(0.625)＜0，f(0.75)＞0，f(0.6875)＜0,即得到方程的一个近似解为______.(精确度0.1)【解析】因为|0.75-0.6875|=0.0625＜0.1，所以0.75或0.6875都可作为方程f(x)=0的一个近似解.答案：0.75或0.6875点击进入相应模块5.用二分法求方程x3-8=0在区间(2，3)内的近似解经过几次二分后精确度能达到0.01?【解析】区间(2，3)的长度为1，当7次二分后区间长度为故经过7次后精确度能达到0.01.7111==0.01.2128100