2015年高中数学《空间直角坐标系及空间向量》自测试题

-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----2015年高中数学《空间直角坐标系及空间向量》自测试题【梳理自测】一、空间直角坐标系及空间向量的概念1．在空间直角坐标系O－xyz中，点P(3,2，－1)关于x轴的对称点的坐标为()A．(3,2,1)B．(－3,2,1)C．(3，－2,1)D．(－3，－2,1)2．已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是()A．2，12B．－13，12C．－3,2D．2,23．如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若AB→＝a，AD→＝b，AA1→＝c，则下列向量中与BM→相等的向量是()A．－12a＋12b＋cB.12a＋12b＋cC．－12a－12b＋cD.12a－12b＋c答案：1.C2.A3.A◆以上题目主要考查了以下内容：(一)(1)空间直角坐标系：名称内容空间直角坐标系以空间一点O为原点，具有相同的单位长度，给定正方向，建立三条两两垂直的数轴：x轴、y轴、z轴，这时建立了一个空间直角坐标系O－xyz坐标原点点O坐标轴x轴、y轴、z轴坐标平面通过每两个坐标轴的平面(2)空间中点M的坐标：空间中点M的坐标常用有序实数组(x，y，z)来表示，记作M(x，y，z)，其中x叫做点M的横坐标，y叫做点M的纵坐标，z叫做点M的竖坐标．建立了空间直角坐标系后，空间中的点M和有序实数组(x，y，z)可建立一一对应的关系．(二)空间两点间的距离(1)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则|AB→|＝x2－x12＋y2－y12＋z2－z12.特别地，点P(x，y，z)与坐标原点O的距离为|OP→|＝x2＋y2＋z2.(2)设点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)是空间中两点，则线段AB的中点坐标为x1＋x22，y1＋y22，z1＋z22.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----(三)空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量平行于同一个平面的向量(四)空间向量的线性运算及运算律(1)定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算，如下：OB→＝OA→＋AB→＝a＋b；BA→＝OA→－OB→＝a－b；OP→＝λa(λ∈R)．(2)运算律：①加法交换律：a＋b＝b＋a；②加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；③数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb.(五)空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在实数x，y的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc.其中，{a，b，c}叫做空间的一个基底．二、空间向量的数量积及运算律1．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值为()A．1B.15C.35D.752．已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，则(a＋b)·(a－b)的值为________．答案：1.D2.－13◆以上题目主要考查了以下内容：(1)数量积及相关概念①两向量的夹角已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作OA→＝a，OB→＝b，则∠AOB叫做向量a与b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是[0，π]，若〈a，b〉＝π2，则称a与b垂直，记作a⊥b.②两向量的数量积已知空间两个非零向量a，b，则|a|·|b|·cos〈a，b〉叫做向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量数量积的运算律①结合律：(λa)·b＝λ(a·b)；②交换律：a·b＝b·a；-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.【指点迷津】1．一种方法用空间向量解决几何问题的一般方法步骤是：(1)适当的选取基底{a，b，c}；(2)用a，b，c表示相关向量；(3)通过运算完成证明或计算问题．2．二个原则——建立空间直角坐标系的原则(1)合理利用几何体中的垂直关系，特别是面面垂直；(2)尽可能地让相关点落在坐标轴或坐标平面上．3．二个推论①共线向量定理推论若OA→，OB→不共线，则P，A，B三点共线的充要条件是OP→＝λOA→＋μOB→且λ＋μ＝1.②共面向量定理推论若OM→、OA→、OB→不共面，则P、M、A、B四点共面的充要条件是OP→＝xOM→＋yOA→＋zOB→且x＋y＋z＝1.考向一空间向量的线性运算例题1如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，设AA1→＝a，AB→＝b，AD→＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：(1)AP→；(2)A1N→；(3)MP→＋NC1→.【审题视点】逐步用三角形法则及向量运算法则【典例精讲】(1)∵P是C1D1的中点，∴AP→＝AA1→＋A1D1→＋D1P→＝a＋AD→＋12D1C1→＝a＋c＋12AB→＝a＋c＋12b.(2)∵N是BC的中点，∴A1N→＝A1A→＋AB→＋BN→＝－a＋b＋12BC→＝－a＋b＋12AD→＝－a＋b＋12c.(3)∵M是AA1的中点，∴MP→＝MA→＋AP→＝12A1A→＋AP→＝－12a＋a＋c＋12b＝12a＋12b＋c，又NC1→＝NC→＋CC1→＝12BC→＋AA1→＝12AD→＋AA1→＝12c＋a，-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----∴MP→＋NC1→＝12a＋12b＋c＋a＋12c＝32a＋12b＋32c.【类题通法】用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量，我们可把这个法则称为向量加法的多边形法则．在立体几何中要灵活应用三角形法则，向量加法的平行四边形法则在空间仍然成立．变式训练1．(2014·舟山月考)如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且MG→＝2GN→，若OG→＝xOA→＋yOB→＋zOC→，则x，y，z的值分别为________．解析：连结ON，OG→＝OM→＋MG→＝OM→＋23MN→＝OM→＋23(ON→－OM→)＝13OM→＋23ON→＝13OM→＋23×12(OB→＋OC→)＝13×12OA→＋13OB→＋13OC→＝16OA→＋13OB→＋13OC→x＝16，y＝13，z＝13.答案：16，13，13考向二共线、共面向量定理及应用例题2(2014·上饶调研)已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，(1)求证：E、F、G、H四点共面；(2)求证：BD∥平面EFGH；(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有OM→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．【审题视点】(1)利用向量共面与点共面的关系证明．(2)根据向量共线的关系证．(3)根据向量运算求证．【典例精讲】(1)连接BG，则EG→＝EB→＋BG→＝EB→＋12(BC→＋BD→)-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----＝EB→＋BF→＋EH→＝EF→＋EH→，由共面向量定理的推论知：E、F、G、H四点共面．(2)因为EH→＝AH→－AE→＝12AD→－12AB→＝12(AD→－AB→)＝12BD→，所以EH∥BD.又EH⊂平面EFGH，BD⊄平面EFGH，所以BD∥平面EFGH.(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.由(2)知EH→＝12BD→，同理FG→＝12BD→，所以EH→＝FG→，即EH綊FG，所以四边形EFGH是平行四边形．所以EG，FH交于一点M且被M平分．故OM→＝12(OE→＋OG→)＝12OE→＋12OG→＝1212OA→＋OB→＋1212OC→＋OD→＝14(OA→＋OB→＋OC→＋OD→)．【类题通法】空间共线向量定理、共面向量定理的应用三点(P，A，B)共线空间四点(M，P，A，B)共面PA→＝λPB→MP→＝xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝OA→＋tAB→对空间任一点O，OP→＝OM→＋xMA→＋yMB→对空间任一点O，OP→＝xOA→＋(1－x)OB→对空间任一点O，OP→＝xOM→＋yOA→＋(1－x－y)OB→变式训练2．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC边上的中点，求证：A1B∥平面AC1D.证明：设BA→＝a，BB1→＝c，BC→＝b，则BA1→＝BA→＋AA1→＝BA→＋BB1→＝a＋c，AD→＝AB→＋BD→＝AB→＋12BC→＝－a＋12b，AC1→＝AC→＋CC1→＝BC→－BA→＋BB1→＝b－a＋c，BA1→＝AC1→－2AD→，∵A1B⊄平面AC1D，∴A1B∥平面AC1D.-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----考向三空间向量数量积的应用例题3已知空间三点A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．(1)求以AB→，AC→为边的平行四边形的面积；(2)若|a|＝3，且a分别与AB→，AC→垂直，求向量a的坐标．【审题视点】①利用向量夹角公式求sin〈AB→，AC→〉，代入面积公式．②向量垂直，数量积为0.【典例精讲】(1)由题意可得：AB→＝(－2，－1,3)，AC→＝(1，－3,2)，∴cos〈AB→，AC→〉＝AB→·AC→|AB→||AC→|＝－2＋3＋614×14＝714＝12.∴sin〈AB→，AC→〉＝32，∴以AB→，AC→为边的平行四边形的面积为S＝2×12|AB→|·|AC→|·sin〈AB→，AC→〉＝14×32＝73.(2)设a＝(x，y，z)，由题意得x2＋y2＋z2＝3－2x－y＋3z＝0，x－3y＋2z＝0解得x＝1y＝1z＝1或x＝－1y＝－1，z＝－1∴向量a的坐标为(1,1,1)或(－1，－1，－1)．【类题通法】(1)当题目条件有垂直关系时，常转化为数量积为零进行应用；(2)当异面直线所成的角为α时，常利用它们所在的向量转化为向量的夹角θ来进行计算；(3)通过数量积可以求向量的模．变式训练3．已知空间四边形OABC中，M为BC的中点，N为AC的中点，P为OA的中点，Q为OB的中点，若AB＝OC，求证：PM⊥QN.证明：连结PB、PC∴PM→＝12PB→＋12PC→＝12(OB→－12OA→)＋12(OC→－12OA→)＝12OB→＋12OC→－12OA→QN→＝12QA→＋12QC→-----欢迎登陆明师在线浏览更多的学习资讯！-----＝12(OA→－12OB→)＋12(OC→－12OB→)＝12OA→＋12OC→－12OB→∴PM→·QN→＝12OC→＋12OB→－OA→12OC→－12OB→－OA→＝14|OC→|2－14(OB→－OA→)2＝14|OC→|2－14|AB→|2＝0∴PM⊥QN.空间“向量平行”与“向量同向”已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a、b同向，则x，y的值分别为________．【正解】由题意知a∥b，所以x1＝x2＋y－22＝y3.即y＝3x，①x2＋y－2＝2x，②把①代入②得x2＋x－2＝0，(x＋2)(x－1)＝0，解得x＝－2，或x＝1.当x＝－2时，y＝－6；当x＝1时，y＝3.当