2015高考数学(人教A版)一轮作业31变化率与导数导数的运算(精选)

——变化率与导数及运算时间：45分钟满分：100分班级：________姓名：________座号：________一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知函数f(x)＝ax2＋3x－2在点(2，f(2))处的切线斜率为7，则实数a的值为()A．－1B．1C．±1D．－22．若函数f(x)＝cosx＋2xf′(π6)，则f(－π3)与f(π3)的大小关系是()A．f(－π3)＝f(π3)B．f(－π3)f(π3)C．f(－π3)f(π3)D．不确定3．直线y＝kx＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点A(1,3)，则a－b等于()A．－4B．－1C．3D．－24．(2014·镇江模拟)已知直线y＝x＋1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为()A．1B．2C．－1D．－25．(2014·长春月考)若曲线y＝x2－1与y＝1－x3在x＝x0处的切线互相垂直，则x0等于()A.3366B．－3366C.23D.23或06．(2013·安徽)若函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有极值点x1，x2，且f(x1)＝x1，则关于x的方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0的不同实根个数是()A．3B．4C．5D．6二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．(2013·广东)若曲线y＝kx＋lnx在点(1，k)处的切线平行于x轴，则k＝_____.8．(2014·辽宁模拟)已知P，Q为抛物线x2＝2y上两点，点P，Q的横坐标分别为4，－2，过P，Q分别作抛物线的切线，两切线交于点A，则点A的纵坐标为________．9．(2014·桦甸一模)若曲线f(x)＝ax3＋lnx存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是________．10．(理)(2014·延吉二模)若函数f(x)＝C0nx2n－1－C1nx2n＋C2nx2n＋1－…＋Crn(－1)r·x2n－1＋r＋……＋Cnn(－1)n·x3n－1，其中n∈N*，则f′(1)＝________.(文)(2014·莱州模拟)在曲线y＝1－x2(x≥0，y≥0)上找一点(x0，y0)，过此点作切线与x轴、y轴构成一个三角形，当x0为________时，此三角形面积最小，最小面积为________．三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．已知函数f(x)＝x－2x，g(x)＝a(2－lnx)(a0)．若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率相同，求a的值．并判断两条切线是否为同一条直线．12．(2014·江西红色六校联考)已知曲线y＝x3＋x－2在点P0处的切线l1平行直线4x－y－1＝0，且点P0在第三象限．(1)求P0的坐标；(2)若直线l⊥l1，且l也过切点P0，求直线l的方程．13．(2014·临汾百题精选)设有抛物线C：y＝－x2＋92x－4，通过原点O作C的切线y＝kx，使切点P在第一象限．(1)求k的值；(2)过点P作切线的垂线，求它与抛物线的另一个交点Q的坐标．变化率与导数及运算参考答案一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分，在下列四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．解析：因为f′(x)＝2ax＋3，所以由题意得2a×2＋3＝7，解得a＝1.故选B.答案：B2．解析：依题意得f′(x)＝－sinx＋2f′(π6)，f′(π6)＝－sinπ6＋2f′(π6)，f′(π6)＝12，f′(x)＝－sinx＋1≥0，f(x)＝cosx＋x是R上的增函数，注意到－π3π3，于是有f(－π3)f(π3)．选C.答案：C3．解析：由点(1,3)在直线y＝kx＋1上可得k＝2，又由y′＝3x2＋a可得k＝3×1＋a＝2，解得a＝－1，将点(1,3)代入y＝x3－x＋b可得b＝3，∴a－b＝－4，故应选A.答案：A4．解析：设切点为(m，n)，则切线斜率为1m＋a＝1，m＋a＝1，n＝ln(m＋a)＝ln1＝0，再由(m，n)在直线y＝x＋1上得m＝－1，从而a＝2，故选B.答案：B5．解析：曲线y＝x2－1在x＝x0处切线斜率k1＝2x0，曲线y＝1－x3在x＝x0处切线斜率k2＝－3x20.依题设k1·k2＝(2x0)·(－3x20)＝－1，解得x30＝16，∴x0＝3366，故选A.答案：A6．解析：因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c有两个极值点x1，x2，当x1＜x2时，可知关于导函数的方程f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有两个不等的实根x1，x2，则方程3(f(x))2＋2af(x)＋b＝0有两个不等的实根x1，x2，即f(x)＝x1或f(x)＝x2，原方程根的个数就是这两个方程f(x)＝x1和f(x)＝x2的不等实根个数之和，再结合图象可看出函数y＝f(x)的图象与直线y＝x1和直线y＝x2共有3个不同的交点；同理当x1＞x2时，也是3个不同交点．综上，所求方程共有3个不同的实根．答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上)7．解析：y′|x＝1＝0，即当x＝1时，k＋11＝k＋1＝0，解得k＝－1.答案：－18．解析：求出切线方程，再解方程组得点A的坐标．易知抛物线y＝12x2上的点P(4,8)，Q(－2,2)，且y′＝x，则过点P的切线方程为y＝4x－8，过点Q的切线方程为y＝－2x－2，联立两个方程解得交点A(1，－4)，所以点A的纵坐标是－4.答案：－49．解析：f′(x)＝3ax2＋1x，因为存在垂直于y轴的切线，则f′(x)＝0在x＞0时有解，即3ax2＋1x＝0有解，即3a＝－1x3，∵－1x3＜0，∴当3a＜0，即a＜0时，方程有解，所以a的取值范围为(－∞，0)．答案：(－∞，0)10．解析：∵f(x)＝x2n－1[C0n－C1nx＋C2nx2－…＋Crn(－1)r·xr＋…＋Cnn(－1)n·xn]＝x2n－1(1－x)n，∴f′(x)＝(2n－1)x2n－2·(1－x)n＋x2n－1·n(1－x)n－1(－1)，故，f′(1)＝0.答案：0(文)解析：∵y＝1－x2，y′＝－2x，∴切线AB的方程y－y0＝－2x0(x－x0)，即y＝－2x0x＋x20＋1.∴与x轴、y轴的交点为A(x20＋12x0，0)，B(0，x20＋1)．∴S△AOB＝12×x20＋12x0×(x20＋1)＝x20＋124x0＝14x30＋x02＋14x0.∴S′△AOB＝34x20＋12－14x20.由S′△AOB＝0，得3x40＋2x20－1＝0，∴x20＝13.又x0∈[0,1]，∴x0＝33，y0＝23，此时三角形面积的最小值为439.答案：33439三、解答题(本大题共3小题，共40分，11、12题各13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤)11．解：根据题意有：曲线y＝f(x)在x＝1处的切线斜率为f′(1)＝3，曲线y＝g(x)在x＝1处的切线斜率为g′(1)＝－a.所以f′(1)＝g′(1)，即a＝－3.曲线y＝f(x)在x＝1处的切线方程为y－f(1)＝3(x－1)，得：y＋1＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－4＝0.曲线y＝g(x)在x＝1处的切线方程为y－g(1)＝3(x－1)，得y＋6＝3(x－1)，即切线方程为3x－y－9＝0，所以，两条切线不是同一条直线．12．解：(1)由y＝x3＋x－2，得y′＝3x2＋1，由已知得3x2＋1＝4，解之得x＝±1.当x＝1时，y＝0；当x＝－1时，y＝－4.又∵点P0在第三象限，∴切点P0的坐标为(－1，－4)．(2)∵直线l⊥l1，l1的斜率为4，∴直线l的斜率为－14.∵l过切点P0，点P0的坐标为(－1，－4)，∴直线l的方程为y＋4＝－14(x＋1)，即x＋4y＋17＝0.13．解：(1)设点P的坐标为(x1，y1)，则y1＝kx1①y1＝－x21＋92x1－4②①代入②得x21＋(k－92)x1＋4＝0.∵P为切点，∴Δ＝(k－92)2－16＝0，得k＝172或k＝12.当k＝172时，x1＝－2，y1＝－17.当k＝12时，x1＝2，y1＝1.∵P在第一象限，∴所求的斜率k＝12.(2)过P点作切线的垂线，其方程为y＝－2x＋5③将③代入抛物线方程得x2－132x＋9＝0.设Q点的坐标为(x2，y2)，则2x2＝9，∴x2＝92，y2＝－4.∴Q点的坐标为(92，－4)．