2015高考数学总复习第7章第5节合情推理与演绎推理课时跟踪检测理(含解析)新人教版

1【优化指导】2015高考数学总复习第7章第5节合情推理与演绎推理课时跟踪检测理（含解析）新人教版1．(2014·宝鸡质检)古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1,3,6,10，…这样的数称为“三角形数”，而把1,4,9,16，…这样的数称为“正方形数”．如图，可以发现，任何一个大于1的“正方形数”都可以看作两个相邻的“三角形数”之和，下列等式中，符合这一规律的表达式是()①13＝3＋10；②25＝9＋16；③36＝15＋21；④49＝18＋31；⑤64＝28＋36.A．①④B．②⑤C．③⑤D．②③解析：选C这些“三角形数”依次是1,3,6,10,15,21,28,36,45，…，且“正方形数”是“三角形数”中相邻两数之和，很容易得到：15＋21＝36,28＋36＝64，因此只有③⑤正确．故选C.2．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sinαsinβ；③(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2与(a＋b)2类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选B由条件知只有③正确．故选B.3．已知f1(x)＝sinx＋cosx，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f′2(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N*，则f2014(x)＝()A．－sinx－cosxB．sinx－cosxC．－sinx＋cosxD．sinx＋cosx解析：选C列举f2(x)＝f′1(x)＝cosx－sinx；f3(x)＝f′2(x)＝－sinx－cosx；2f4(x)＝f′3(x)＝－cosx＋sinx；f5(x)＝f′4(x)＝sinx＋cosx；……由此归纳得其周期为4，即fn(x)＝fn＋4(x)，所以f2014(x)＝f2(x)＝－sinx＋cosx，故选C.4．在下图的表格中，如果每格填上一个数后，每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么x＋y＋z的值为()cos02sinπ6tanπ4xyzA．1B．2C．3D．4解析：选A先算出三角函数值，然后根据每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，填表可得：1322523121543214x＝1218y＝516116z＝316所以x＋y＋z＝12＋516＋316＝1，故选A.5．(2012·江西高考)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝()A．28B．76C．123D．199解析：选C利用归纳法：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4＝3＋1，a4＋b4＝4＋3＝7，3a5＋b5＝7＋4＝11，a6＋b6＝11＋7＝18，a7＋b7＝18＋11＝29，a8＋b8＝29＋18＝47，a9＋b9＝47＋29＝76，a10＋b10＝76＋47＝123.规律为从第三组开始，其结果为前两组结果的和．故选C.6．(2014·长沙模拟)定义两个实数间的一种新运算“*”：x*y＝lg(10x＋10y)，x，y∈R.对于任意实数a，b，c，给出如下结论：①(a*b)*c＝a*(b*c)；②a*b＝b*a；③(a*b)＋c＝(a＋c)*(b＋c)．其中正确结论的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：选D①因为a*b＝lg(10a＋10b)，故(a*b)*c＝lg(10a＋10b)*c＝lg(10lg(10a＋10b)＋10c)＝lg(10a＋10b＋10c)，同理a*(b*c)＝a*(lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10lg(10b＋10c))＝lg(10a＋10b＋10c)，故“*”运算满足结合律；②据定义易知运算符合交换律；③(a*b)＋c＝lg(10a＋10b)＋c＝lg(10a＋10b)＋lg10c＝lg(10a＋10b)10c＝lg(10a＋c＋10b＋c)＝(a＋c)*(b＋c)，故结论成立；综上可知①②③均为真命题，故选D.7．观察下列不等式：①12＜1；②12＋16＜2；③12＋16＋112＜3，…请写出第n个不等式________．解析：12＋16＋112＋…＋1nn＋＜n由归纳知第n个式子为12＋16＋112＋…＋1nn＋＜n8．(2014·黄冈中学月考)在等差数列{an}中，若a1＝0，s，t是互不相等的正整数，则有等式(s－1)at－(t－1)as＝0成立．类比上述性质，相应地，在等比数列{bn}中，若b1＝1，s，t是互不相等的正整数，则有等式________成立．解析：bs－1tbt－1s＝1通过类比，等比数列的商对等差数列的差，故等式应是bs－1tbt－1s＝1.9．(2014·宝鸡质检)已知2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，若9＋ba＝92×ba(a，b为正整数)，则a＋b＝________.解析：89观察分数的分子规律得b＝9，则a＝b2－1＝80.故a＋b＝89.10．(2014·龙岩质检)已知函数f(x)＝xx＋2(x＞0)，如下定义一列函数：f1(x)＝f(x)，f2(x)＝f(f1(x))，f3(x)＝－f(f2(x))，…，fn(x)＝f(fn－1(x))，…，n∈N*，那么由归纳推4理可得函数fn(x)的解析式是fn(x)＝________.解析：xn－x＋2n(x＞0)依题意得，f1(x)＝xx＋2，f2(x)＝xx＋2xx＋2＋2＝x3x＋4＝x2－x＋22，f3(x)＝x3x＋4x3x＋4＋2＝x7x＋8＝x3－x＋23，…，由此归纳可得fn(x)＝xn－x＋2n(x＞0)．11．(2014·莱芜模拟)凸函数的性质定理：如果函数f(x)在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意x1，x2，…，xn，有fx1＋fx2＋…＋fxnn≤fx1＋x2＋…＋xnn，已知函数y＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sinA＋sinB＋sinC的最大值为________．解析：332因为f(x)＝sinx在区间(0，π)上是凸函数，且A，B，C∈(0，π)，所以fA＋fB＋fC3≤fA＋B＋C3＝fπ3，所以sinA＋sinB＋sinC≤3sinπ3＝332，故sinA＋sinB＋sinC的最大值为332.12．已知点A(x1，ax1)，B(x2，ax2)是函数y＝ax(a＞1)的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A，B两点之间函数图象的上方，因此有结论ax1＋ax22＞ax1＋x22成立．运用类比思想方法可知，若点A(x1，sinx1)B(x2，sinx2)是函数y＝sinx(x∈(0，π))的图象上的不同两点，则类似地有________成立．解析：sinx1＋sinx22＜sinx1＋x22运用类比思想与数形结合思想，可知y＝sinx(x∈(0，π))的图象是上凸的，因此线段AB的中点的纵坐标sinx1＋sinx22总是小于函数y＝sinx(x∈(0，π))图象上点x1＋x22，sinx1＋x22的纵坐标，所以sinx1＋sinx22＜sinx1＋x22成立．13．平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三5角形两边之和大于第三边；(2)三角形的面积S＝12×底×高；(3)三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的12；……请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论．解：由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积；(2)四面体的体积V＝13×底面积×高；(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的14.14．(2012·福建高考)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：①sin213°＋cos217°－sin13°cos17°；②sin215°＋cos215°－sin15°cos15°；③sin218＋cos212°－sin18°cos12°；④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos48°；⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos55°.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．解：(1)方法一：选择②式，计算如下：sin215°＋cos215°－sin15°cos15°＝1－12sin30°＝1－14＝34.(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝sin2α＋(cos30°cosα＋sin30°sinα)2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝sin2α＋34cos2α＋32sinαcosα＋14sin2α－32sinαcosα－12sin2α＝34sin2α＋34cos2α＝34.方法二：(1)同方法一．(2)三角恒等式为sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝34.6证明如下：sin2α＋cos2(30°－α)－sinαcos(30°－α)＝1－cos2α2＋1＋cos60°－2α2－sinα(cos30°cosα＋sin30°sinα)＝12－12cos2α＋12＋12(cos60°cos2α＋sin60°sin2α)－32sinαcosα－12sin2α＝12－12cos2α＋12＋14cos2α＋34sin2α－34sin2α－14(1－cos2α)＝1－14cos2α－14＋14cos2α＝34.1．对于命题：若O是线段AB上一点，则有|OB→|·OA→＋|OA→|·OB→＝0.将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，则有S△OBC·OA→＋S△OCA·OB→＋S△OBA·OC→＝0，将它类比到空间情形应该是：若O是四面体ABCD内一点，则有________．解析：VO—BCD·OA→＋VO—ACD·OB→＋VO—ABD·OC→＋VO—ABC·OD→＝0将平面中的相关结论类比到空间，通常是将平面中的图形的面积类比为空间中的几何体的体积，因此依题意可知若O为四面体ABCD内一点，则有VO—BCD·OA→＋VO—ACD·OB→＋VO—ABD·OC→＋VO—ABC·OD→＝0.2．(2014·福建质检)观察下列等式：13＋23＝1；73＋83＋103＋113＝12；163＋173＋193＋203＋223＋233＝39；…则当m＜n且m，n∈N时，3m＋13＋3m＋23＋3m＋43＋3m＋53＋…＋3n－23＋3n－13＝________(最后结果用m，n表示)．解析：n2－m2据已知可得73＋83＋103＋113＝3×2＋13＋3×2＋23＋3×4－23＋3×4－13＝42－22＝12，同理163＋173＋183＋193＋203＋223＋233＝3×5＋13＋3×5＋23＋3×5＋33＋3×5＋43＋3×5＋53＋3×8－23＋3×8－13＝82－52＝39，据此规律可得3m＋13＋3m＋23＋…＋3n－23＋3n－137＝n2－m2.3．(2013·安徽高考)如图，互不相同的点A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分别在角O的两条边上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面积均相等．设OAn＝an.若a1＝1，a2＝2，则数列{an}的通项公式是________．解析：an＝3n－2设S△OA1B1＝S，∵a1＝1，a2＝2，OAn＝an，∴OA1＝1，OA2＝2.又易知△OA1B1∽△OA2B2，∴S△OA1B1S△OA2B2＝OA12OA22＝122＝14.∴S梯形A1B1B2A2＝3S△OA1B1＝3S.∵所有梯形AnBnBn＋1An＋