32泰勒级数展开

3.3泰勒级数展开3.3泰勒级数展开通过对幂级数的学习，我们已经知道一个幂级数的和函数在它的收敛圆的内部是一个解析函数。现在我们来研究与此相反的问题，就是：任何一个解析函数是否能用幂级数来表示？这个问题不但有理论意义，而且很有实用价值.3.3.1泰勒级数泰勒(Taylor)展开定理设()fz在区域D：0||zzR内解析，则在D内()fz可展为泰勒级数000()(),(||)nnnfzazzzzR(3.3.1)其中()010()1()(0,1,2,)2i()!nnnCfzfdanzn,且展式是唯一的。特别地，当00z时，级数()0(0)!nnnfzn称为麦克劳林级数。0zzRC【证明】设函数()fz在区域D：0zzR内解析，任取一点D，以0z为中心，为半径(R)作圆周C:0z，如图由柯西积分公式知1()()d2πiCffzz(3.3.2)0zz0z001zzz000001111()()1zzzzzzzz01,(||1)1nnzzz其中z在C的内部,，而在C上取值,C取逆时针正方向.故从而因为根据2000100000()111()nnnzzzzzzzzzzz以此代入(3.3.2)，并把它写成00011()d2i()()()nnnCfzfzzz利用解析函数的高阶导数公式，上式即为00()()nnnfzazz(3.3.3)其中()010()1()(0,1,2,)2πi()!nnnCfzfdazn(3.3.4)这样便得到了()fz在圆0||zzR内的幂级数展开式，但上述展开式是否唯一呢？我们可以证明其唯一性。假设()fz在0||zzR内可展开为另一展开式00()()nnnfzbzz(3.3.5)两边逐项求导，并令0zz可得到系数0(),(0,1,2,)!nnnfzbann(3.3.6)故展开式系数是唯一的。泰勒展开定理本身提供了一种展开方法，即求出()0()nfz代入即可，这种方法称为直接展开法.3.3.2将函数展开成泰勒级数的方法例3.3.1在的邻域上把展开。00z()zfze解：函数的各阶导数而()zfze()()kzfze()()0()(0)1kkfzf故在领域上的泰勒级数写为()zfze00z2311!2!3!zzzze易求收敛半径无限大例3.3.2在的邻域把和展开。00z1()sinfzz2()cosfzz'1()cosfzz''1()sinfzz(3)1()cosfzz(4)1()sinfzz解：函数的前四阶导数分别为1()sinfzz由上可见其四阶导数等于函数本身，因此其高阶导数是前四阶导数的重复。且在有00z'1(0)1f''1(0)0f(3)1(0)1f(4)1(0)0f故有357sin1!3!5!7!zzzzz同样的方法，可求得在邻域上的泰勒级数cosz00z246cos12!4!6!zzzz容易求得上面两个泰勒级数的收敛半径为无限大。即Z在全复平面上取值只要有限，上面两个级数就收敛。例3.3.3在的邻域把展开。01z()lnfzz解：多值函数的支点在现在展开中心并非支点，在它的邻域上，各个单值互相独立，可以比照单值函数的方法展开，先计算系数()lnfzz0,zz01z1'()fzz21!''()fzz(3)32!()fzz()lnfzz'(1)1f''()1!fz(3)()2!fz(1)ln12fni……于是可写成在邻域上的泰勒级数01z2323411!2!lnln1(1)(1)(1)1!2!3!(1)(1)(1)2(1)234zzzzzzzniz可以求得上式的收敛半径为1。因此23(1)(1)ln2(1)(1)23zzznizz上式n＝0的那一个单值分支叫作的主值。lnz例3.3.3在的邻域把展开（m不是正整数）。00z()(1)mfzz解：先计算展开系数()(1)mfzz1'()(1)mfzmz2''()(1)(1)mfzmmz(3)3()(1)(2)(1)mfzmmmz(0)1mf'(0)1mfm''(0)(1)1mfmm(3)(0)(1)(2)1mfmmm……23(1)(1)1111!2!(1)(2)13!mmmmmmmmzzzmmmz23(1)(1)(2)(1)1{1},(1)1!2!3!mmmmmmmmzzzzz易求其收敛半径为1，故式中221()minminmee在许多的单值分支中，n＝0那一支即的那一个叫作的主值。上式也就是指数为非整数的二项式定理。11m(1)mz01,1;1nnzzz(3.3.7)01(1),1;1nnnzzz(3.3.8)0,;!nznzezn(3.3.9)210(1)sin,.(21)!nnnzzzn(3.3.10)二、当较复杂时，求比较麻烦。根据泰勒展式的唯一性，因此通常用间接展开法，即利用基本展开公式及幂级数的代数运算、代换、逐项求导或逐项积分等将函数展开成幂级数，基本展开公式如下：()fz()0()nfz例3.3.4将函数()sinfzz和()cosfzz在00z处展开成幂级数.解：利用有0,;!nznzezn00352121011()()sin()()22!!(1)3!5!(21)!(1)(21)!nniziznnmmmmmizizzeeiinnzzzzmzm例3.3.5将函数()ln(1)fzz在00z处展开成幂级数.解:我们知道，ln(1)z在从1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的，而1是它的一个奇点，所以它在1z内可以展开成z的幂级数.因为01ln(1)(1),(1),1nnnzzzz所以000101ln(1)d(1)d1(1),11zznnnnnnzzzzzzzn例3.3.6将函数21(1)z在00z处展开成幂级数.解:由于函数21(1)z在单位圆周1z上有一个奇点1z，而在1z内处处解析，所以它在1z内可展开成z的幂级数.211(1)1zz0(1)nnnz110(1),1nnnnzz例3.3.7将函数()1zfzz，在|1|2z内展开成幂级数.010111111(1)122212(1)1(1),(12)2nnnnnnnzzzz1()111zfzzz解：11(1)2z例3.3.8将函数()(1)(2)zfzzz，在||1z内展开成幂级数.解：12()(1)(2)12zfzzzzz00011(/2)11/21(1)2nnnnnnnzzzzz补充泰勒展开的方法1、替换法例将函数31()zfzz，以为1z中心展开为幂级数.解：令1z即3312(1)zz利用0(1)mmkkkzaz得到330(1)()kkka例3.3.8将函数()(1)(2)zfzzz，在||1z内展开成幂级数.12()(1)(2)12zfzzzzz解：第二式中令即可2zt例3.3.7将函数()1zfzz，在|1|2z内展开成幂级数.2、加减法例3.3.4将函数()cosfzz在00z处展开成幂级数。002422011()()cos()()22!!1(1)2!4!(2)!(1)(2)!nniziznnmmmmmizizzeennzzzmzm3、多项式乘或除例将函数()coszfzez以00z为中心展开成幂级数。解：20(1)cos,.(2)!nnnzzzn0,;!nznzezn将上面两式直接相乘即可。例将函数()tanfzz以00z为中心展开成幂级数。解：利用357sin1!3!5!7!zzzzz246cos12!4!6!zzzz则sintancoszzz352463572315122472061205040zzzzzzzzzz357224720zzzz3573573307203672zzzzzz4、化成微分方程法例将函数11()zfze以00z为中心展开成幂级数。解：2()'()(1)fzfzz于是2(1)'()()0zfzfz对上逐次求导有22(3)(1)''()(23)'()0(1)()(45)''()2'()0zfzzfzzfzzfzfz令则0z'(0)fe依次可得到''(0)3fe(3)(0)13,fe3.4解析延拓解析延拓是唯一的21201020()()()[()()...]mmmmFzFzzzaazzazz21020[()()...]mmmmaazzazza231201020300()()()()()...()...kkFzFzaazzazzazzazz120()()()0mmFzFzzza