2016中山大学考研考研数学一真题

2016年中山大学考研数学一考研真题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.（1）若反常积分01(1)abdxxx收敛，则（A）1a且1b.（B）1a且1b.（C）1a且1ab.（D）1a且1ab.（2）已知函数2(1),1,()ln,1,xxfxxx则()fx的一个原函数是（A）2(1),1.()(ln1),1.xxFxxxx（B）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（C）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（D）2(1),1.()(ln1)1,1.xxFxxxx（3）若222(1)1yxx，222(1)1yxx是微分方程'()()ypxyqx的两个解，则()qx（A）23(1)xx.（B）23(1)xx.（C）21xx.（D）21xx.（4）已知函数,0,()111,,1,2,,1xxfxxnnnn则（A）0x是()fx的第一类间断点.（B）0x是()fx的第二类间断点.（C）()fx在0x处连续但不可导.（D）()fx在0x处可导.（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似（6）设二次型222123123121323(,,)444fxxxxxxxxxxxx，则123(,,)2fxxx在空间直角坐标下表示的二次曲面为（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面（7）设随机变量2~(,)(0)XN，记2{}pPX，则（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少（8）随机试验E有三种两两不相容的结果1A，2A，3A，且三种结果发生的概率均为13。将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果1A发生的次数，Y表示2次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（A）（B）（C）（D）二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分.（9）020ln(1sin)lim_______.1cosxxtttdtx（10）向量场(,,)()Axyzxyzixyjzk的旋度_______.rotA（11）设函数(,)fuv可微，(,)zzxy由方程22(1)(,)xzyxfxzy确定，则(0,1)|______.dz（12）设函数2()arctan1xfxxax，且''(0)1f，则a______.（13）行列式1000100014321______.（14）设12,,,nxxx为来自总体2(,)N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.三、解答题：15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。（15）（本题满分10分）已知平面区域=(,)|22(1cos),22Drr，计算二重积分Dxdxdy.（16）（本题满分10分）设函数()yx满足方程'''20yyky，其中01k.（I）证明：反常积分0()yxdx收敛；（II）若(0)1y，'(0)1y，求0()yxdx的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)fxy满足2(,)(21)xyfxyxex，且(0,)1fyy，tL是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线。计算曲线积分(,)(,)()ddtLfxyfxyItxyxy，并求()It的最小值。（18）（本题满分10分）设有界区域由平面222xyz与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分2(1)dd2dd3ddIxyzyzxzxy。（17）（本题满分10分）设函数(,)fxy满足2(,)(21)xyfxyxex，且(0,)1fyy，tL是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线。计算曲线积分(,)(,)()ddtLfxyfxyItxyxy，并求()It的最小值。（18）（本题满分10分）设有界区域由平面222xyz与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分2(1)dd2dd3ddIxyzyzxzxy。（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A（Ⅰ）求99A（Ⅱ）设3阶矩阵123(,,)B满足2BBA。记100123(,,)B，将123,,分别表示为123,,的线性组合。（22）（本题满分11分）设二维随机变量(,)XY在区域2(,)|01,Dxyxxyx上服从均匀分布，令1,.0,.XYUXY（I）写出(,)XY的概率密度；（II）问U与X是否相互独立？并说明理由；（III）求ZUX的分布函数()Fz.（23）（本题满分11分）设总体的概率密度为233(,),0,0,xfxx其他，其中+（0，）为未知参数，123X,X,X为来自总体X的简单随机样本，令123max(X,X,X)T，（Ⅰ）求T的概率密度；（Ⅱ）确定a，使得aT为的无偏估计。文章摘自鸿儒中大考研网