32立体几何中的向量方法

3.2立体几何中的向量方法教学目标：1.掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2.掌握向量作为工具解决立几问题的方法3.向量解题后建议多思考传统的方法，不仅可以锻炼思维能力，还可以深刻认识空间几何的本质重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法教学过程：相关知识与能力：一.空间距离的计算1.空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离d=|AB|2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，n是a、b的公共法向量（即bnan且），点Aa,Bb则异面直线a、b间的距离nnABd即nAB在方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。3.点（或线）到平面的距离：1）设,.,外一点是平面点的法向量是平面oPnP是平面α内任一点，则PO到平面α的距离[来源:Zxxk.Com]nnPPdo2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。二.空间角度的计算1.两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，n∥l1，m∥l2，则l1与l2所成的角α=n，m或α=л-n，m（0α≤2）abnABd所示图）见第一3..(cossin0nppnPPoPαnP0dOθβcosn，m=mnmn或cosα=mnmn（0α≤2）2.斜线P0P与平面α所成的角θ)20(3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为mn,，则α与β所成的角的大小为mn,或mn,（如何确定？）典例分析：例1.在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是BDDD,1的中点，G在棱CD上，且CDCG41，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；（3）求FH的长。解：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyzD，则E（0，0，21）F（0,21,21）C（0，1，0）B1（1，1，1）C1（0，1，1），G（0，43，0）∵)1,0,1(),21,21,21(1CBEF∴0210211CBEF则CBEF1即CBEF1αBCDβA（2）)1,41,0(1GC∴4171)41(02221GC由（1）知830)21(4321021231)21()21(1222GCEFEF故EF与GC1所成角的余弦值为1751（3）∵H为C1G1的中点∴H（0，21,87），又F（0,21,21）∴841)021()2187()210(222FH即841FH例2.如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。解：（1）A（2，2，0）B1（2，0，2），E（0，1，0），D1（0，2，2）（2）∵)2,1,0(),2,2,0(11EDAB∴221AB，2420,5111EDABED∴1AB与1ED所成的角的余弦值为1010例3.如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。解：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点，设DC=a。（1）证明：连结AC，AC交BD于G，连结EG依题意得A（0,0,a），P（0，0，a），E（2,2,0aa）∵底面ABCD是正方形∴G是此正方形的中心故点G的坐标为（0,2,2aa）且),0,(aaPA，)2,0,2(aaEG∴EGPA2，这表明PA//EG，而EG平面EDB且PA平面EDB∴PA//平面EDB（2）证明：依题意得B（0,,aa），),,(aaaPB又)2,2,0(aaDE，故022022aaDEPB∴PB⊥DE，由已知EF⊥PB，且EDEEF，所以PB⊥平面EFD（3）解：设点F的坐标为（000,,zyx），PBPF，则),,(),,(000aaaazyx∴3EFD，所以，二面角C—PC—D的大小为3巩固练习：1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。（1）求证：EF//平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若45PDA，求EF与平面ABCD所成的角的大小。2、在正方体1111DCBAABCD中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，（1）求证：FD1平面ADE；（2）),cos(1CBEF作业布置：如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。2、如图，在直四棱柱1111DCBAABCD中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；（2）求二面角11CBDA的余弦值。教学反思：在立体几何的学习中，求各种“空间角”、和空间“距离”的难点在于作出相应的“角”及作出表示“距离”的线段，并给出相应的证明。引入向量的工具，避开了“作”、“证”这个难点，提供了解决求空间角、距离及证明“垂直”、“平行”的通法。进一步强化了“坐标法”、“数形结合”和“转化”等数学思想方法.学校临清一中学科数学编写人秦雪峰审稿人3.2立体几何中的向量方法课前预习学案预习目标：1.向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法2.向量作为工具解决立几问题的方法预习内容：一.空间距离的计算1.空间两点间的距离：设A、B是空间两点，则A、B两点间的距离2.两条异面直线间的距离：设a、b是两条异面直线，n是a、b的公共法向量（即bnan且），点Aa,Bb则异面直线a、b间的距离nnABd即nAB在方向上的射影长为异面直线a、b间的距离。3.点（或线）到平面的距离：1）设,.,外一点是平面点的法向量是平面oPnP是平面α内任一点，则PO到平面α的距离nnPPdo2)直线与平面（或平面与平面）的距离转化为点到平面的距离。二.空间角度的计算1.两条异面直线所成的角：设l1与l2两条异面直线，n∥l1，m∥l2，则l1与l2所成的角α=n，m或α=л-n，m（0α≤2）abnABd所示图）见第一3..(cossin0nppnPPoPαnP0dOθβcosn，m=mnmn或cosα=mnmn（0α≤2）2.斜线P0P与平面α所成的角θ)20(3.二面角：设相交平面α与β的法向量分别为mn,，则α与β所成的角的大小为mn,或mn,（如何确定？）提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案学习目标：1掌握好向量的相关知识：概念、基本运算、建系方法、坐标求法（不定点的坐标）、平行与垂直、法向量求法1掌握向量作为工具解决立几问题的方法重点难点：向量作为工具解决立几问题的方法学习过程：[来源:学科网]例1.在棱长为1的正方体1111DCBAABCD中，E、F分别是BDDD,1的中点，G在棱CD上，且CDCG41，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题。（1）求证：EF⊥B1C；（2）求EF与C1G所成的角的余弦；αBCDβA所示图）见第一3..(cossin0nppnPPo（3）求FH的长。例2.如图，在棱长为2的正方体1111DCBAABCD中，E是DC的中点，取如图所示的空间直角坐标系。（1）写出A、B1、E、D1的坐标；（2）求AB1与D1E所成的角的余弦值。[来源:学*科*网Z*X*X*K]例3.如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F。（1）证明PA//平面EDB；（2）证明PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。当堂检测：1、如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点。（1）求证：EF//平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；（3）若45PDA，求EF与平面ABCD所成的角的大小。2、在正方体1111DCBAABCD中，如图E、F分别是BB1，CD的中点，（1）求证：FD1平面ADE；（2）),cos(1CBEF课后练习与提高1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E、F分别是AB、AD的中点，GC⊥平面ABCD，且GC=2，求点B到平面EFG的距离。2、如图，在直四棱柱1111DCBAABCD中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB//DC。[来源:学科网]（1）设E是DC的中点，求证：D1E//平面A1BD；[来源:学&科&网]（2）求二面角11CBDA的余弦值。