34用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器-数字信号处理

3.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器我们希望能找到由s平面到z平面的一种映射关系，这种关系应保证①s平面的整个jΩ轴只映射为z平面单位圆一周②若G（s）是稳定的，由G（s）映射得到H（z）的也应该是稳定的③这种映射是可逆的，既能由G（s）得到H（z），也能由H（z）得到G（s）。④如果G（j0）=1，那么H（ej0）也应等于13.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器满足以上4个条件的映射关系为此关系称为双线形变换，由此关系不难求出，1z1zT2sss)2/T(1s)2/T(1zss)2/cos()2/sin(T2j)ee(e)ee(eT21e1eT2js2/j2/j2/j2/j2/j2/jsjjs3.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器(1)给出了Ω与ω的映射关系这样，当给定了数字滤波器的技术指标ωp，ωs，αp，αs后，依据式（1）有λp=1，λs=tan（ωs/2）/tan（ωp/2）于是可以设计出模拟滤波器G（P），由G（P）转为G（s），再由G（s）转为H（z）时，有)2/tan(T2s)2/Tarctan(2s)2/tan(T2psp)2/tan(T2sss3.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器psp)P(G)s(G1z1zTs2s)s(G)z(H1z1z)2/tan(1)1z1zT2()2/tan(T21sPpspsp3.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器因此，无论是在设计模拟滤波器还是由模拟滤波器转换为数字滤波器的过程，系数2/Ts均被约掉，因此，则相应地1z1zss1s1z)2/tan()arctan(2z变换的定义给定一个离散信号x(n)，n=-∞～+∞,则x(n)的z变换的定义为式中z为一复变量，由于x(n)的存在范围是从-∞～+∞，所以上式定义的z变换称为双边变换。若x(n)的存在范围是0～+∞，那么称为单边z变换。nnz)n(x)z(Xn0nz)n(x)z(Xz变换的定义由于因果性信号及因果系统的抽样响应h(n)在n0时恒为零，因此实际的物理信号对应的都是单边z变换。z变换的定义1.拉普拉斯变换和Z变换的关系令xs(nTs)是由连续信号经抽样得到的，即现对xs(nTs)取拉普拉斯变换得)nTt()nT(x)nTt()t(x)nT(xssnsssz变换的定义)e(Xe)nT(xdte)]nTt([)nT(xdte)]nTt()nT(x[dte)nT(x)s(XssTssnTnsssTsssnsTsssnsTssz变换的定义令z=则xs(nTs)的拉普拉斯变换式就可以变成另一复变量z的变换式，Ts归一化为1，则和定义是一样的。拉普拉斯复变量s=σ+jΩ，式中Ω=2πf是相对连续系统及连续信号的角频率，单位为rad/s（1）（2）ssTennz)n(x)z(XsTjsTsT)j(ssTeeeezjssTrezTer则z变换的定义ω为相对离散系统和离散信号的圆周频率，单位为rad/s。这一结果说明，只要x(n)r-n符合绝对可和的收敛条件，即则x(n)的z变换存在，这样，一个序列x(n)的z变换，又可以看成是该序列乘以一实加劝序列r-n后的傅立叶变换，即X(z)=F[x(n)r-n]|r)n(x|nnz变换的定义若r=1,则这时的z变换就演变为离散序列的傅立叶变换(DTFT)由①,②式可得出由s平面到z平面的映射规律。①s平面上的复变量s是直角坐标，而z平面上的复变量z一般取极坐标形式。②由②式可知，σ=0时，r=1,σ=0对应s平面的jΩ轴，而|z|=1对应z平面上半径r为1的圆（该圆称为单位圆）,这样，s平面的jΩ映射为z平面上的单位圆。njnjjeze)n(x)e(X)z(Xz变换的定义当z仅在单位圆上取值，那么z变换也演变为傅立叶变换。当s仅在jΩ轴上取值时，拉普拉斯变换演变为傅立叶变换，即③σ0对应s平面的左半平面，对应的1,这样，s平面的左半平面映射到z平面上的单位圆内，s平面的右半平面映射到z平面上的单位圆外。dte)t(x)j(X)s(XtjsjssTerz变换的定义④Ts是抽样周期（或抽样间隔），fs=1/Ts是抽样频率由ω=ΩTs=2πf/fs因此,当f在jΩ轴上从-∞变至+∞的过程中，每间隔fs，对应的ω从0变到2π，即在单位圆上绕了一周，所以，由s平面到z平面的映射不是单一的，这就是离散信号的傅立叶变换是周期的根本原因，ω的单位为rad/s。3.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器例：试用双线性z变换法设计一低通数字滤波器，给定技术指标是fp=100Hz，αp=3dB，fs=300Hz，αs=20dB,抽样频率Fs=1000Hz解:首先应得到角频率ω，因为2π对应Fs，所以ωp=2πfp/Fs=2π*0.1=0.2π,ωs=0.6π3.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器(1)将数字滤波器转化为模拟滤波器的技术要求因为Ωp=tan（ωp/2）=0.3249,Ωs=tan（ωs/2）=1.37638,αp=3dB，αs=20dB(2)设计低通滤波器G（s）令λ=Ω/Ωp得λp=1，λs=Ωs/Ωp=4.2363,求得N=1.59,取N=2,于是1P2P1)P(G23.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器(3)由G（s）求H（z）222psp03249s4595.0s3249.0)P(G)s(G21211124128.0143.1106745.00134906745.0)()(zzzzsGzHzzTss3.4用双线性z变化法设计IIR数字低通滤波器本例中使用的是第二组双线性z变换的定义，求出的H（z）及|H（ejω）|和使用第一组完全相同，但是若要求出真正的G（s）和G（jΩ），必须使用第一组来实现，因为第二组中缺少对Ω的定标Ts/2。所以要想给出|G（jΩ）|曲线（真正的），那么Ωp=2/Tstan（ωp/2）psp)P(G)s(G例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足p=0.2p,s=0.6p,Ap2dB,As15dB%DesignDFBWlow-passfilterusingimpulseinvariance%DFBWLPspecficationWp=0.2*pi;Ws=0.6*pi;Ap=2;As=15;T=2;Fs=1/T;%Samplingfrequency(Hz)%AnalogButterworthspecficationwp=2*tan(Wp/2)/T;ws=2*tan(Ws/2)/T;%determinetheorderofAFfilterandthe3-dBcutofffrequency[N,wc]=buttord(wp,ws,Ap,As,'s')%determinetheAF-BWfilter[numa,dena]=butter(N,wc,'s')例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足p=0.2p,s=0.6p,Ap2dB,As15dB%determinetheDFfilter[numd,dend]=bilinear(numa,dena,Fs)%plotthefrequencyresponsew=linspace(0,pi,1024);h=freqz(numd,dend,w);plot(w/pi,20*log10(abs(h)));axis([01-500]);grid;xlabel('Normalizedfrequency');ylabel('Gain,dB');%computerApAsofthedesignedfilterw=[WpWs];h=freqz(numd,dend,w);fprintf('Ap=%.4f\n',-20*log10(abs(h(1))));fprintf('As=%.4f\n',-20*log10(abs(h(2))));例：利用AF-BWfilter及双线性变换法设计一DF，满足p=0.2p,s=0.6p,Ap2dB,As15dB00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-50-45-40-35-30-25-20-15-10-50NormalizedfrequencyGain,dbAp=0.3945As=15.0000冲激响应不变法用冲激响应不变法，设计IIR低通滤波器,转换关系为设模拟滤波器G（s）的单位冲击响应为g(t)，令所对应的数字系统的单位抽样响应zlnTs1s)s(G)z(H1Tsze11s10nsnTsts)nTt()t(g)t(g)nT(h冲激响应不变法那么h(nTs)所对应的数字系统的转移函数及频率响应分别是上述由G（s）到H（z）的转换方法都是令h(n)等于g(t)的抽样，因此该方法称为“冲激响应不变法”。H（ejω）是按G（jΩ）按Ωs作周期延拓后的叠加，若G（jΩ）不是带限的，或是抽样频率不够高，那么在H（ejω）中将发生混叠失真，这是冲激响应不变法的一个严重缺点。n0nz)nTs(h)z(Hkj)sjkj(GTs1)e(H结论对于低通和带通滤波器，当Ts足够小时，冲激响应不变法可给出较为满意的结果。对于高通，带阻滤波器不是限带的，因此不能用冲激响应不变法实现G（s）到H（z）的转换。而使用双线性z变换可以消除冲激响应不变法中的频域混叠现象。