35-37流体力学的基本方程

三大守恒定律质量守恒动量守恒能量守恒连续方程能量方程动量方程恒定总流三大方程流体力学课程重点1伯努利（Bernoulli）能量方程元流的伯努利能量方程总流的伯努利能量方程流体的能量方程是能量守恒及转换定律的具体体现。2一、元流的伯努利方程(流线上的伯努利方程)（一）伯努利方程的建立能量守恒定理：2022121mvmvW外力作功之和流体末动能流体初动能能量守恒定理可叙述为：时段dt内流段动能的增量等于同时段内外力对流段作功之总和。3设有一定常、不可压缩、质量力只有重力的元流，取两过水断面1、2，其上流速和压强分别为：在时段dt内，元流1-2运动至1′-2′的位置。2121,,,ppvv4流段的动能为：'11流段的动能为：'222112112121dtvdqvdmv2222222121dtvdqvdmv1、动能的增量由不可压缩元流的连续方程：故整个流段在dt时间内动能的增量为：vvvdqdqdq212122211222212121vvdtdqvdmvdmV5)(2122112221211121211zzdtdqEEEEEEEEWvZZZZZZZZ2(2)W压力做功212221112221112PPdtdqdtvdApdtvdApdldAPdldAPWv3(3)W摩擦力做功1(1)W重力做功重力所作的功等于位能的减少。摩擦力对流体作负功，它等于1-1′微段流体历经全程运动至2-2′，阻力所作的功。2、外力作功总和6dtdqhWv3—h表示摩擦阻力对微元流段平均按单位重力流体计算沿全程所作的功。dtdqhPPdtdqZZdtdq2121321W总功Wdtdqvvv212221根据能量守恒定理得：两边同除以流体重量，则得单位重量流体的关系式：dtdqvhPPZZvv2121212212g17hPPZZvv2121212212g1整理得：hgvPZgvPZ2222222111这就是重力作用下不可压缩流体、定常元流的伯努利方程，它表明沿元流各断面位置高度、压强及流速三个运动参数之间的变化规律。gvPZgvPZ2222222111对于理想流体而言：8（二）伯努利方程式的意义p581、几何意义伯努利方程各项都具有长度量纲，几何上可用某个高度来表示，常称作水头。伯努利方程式表明在重力作用下不可压缩的理想流体作定常流动时，单位质量流体所具有的位置水头，压强水头，速度水头之和即总水头（或总机械能）为一常数。zppzgv22gvpzH22位置水头压强水头测压管水头速度水头总水头gvPZgvPZ222222211192、物理意义实际流体沿元流从一个断面流到另一个断面时，位能、压强势能、动能可以互相转化，但在流经前一个断面时所具有的单位总机械能，应等于它在流经后一个断面时所具有的单位总机械能，与流体在流经两断面之间过程中的单位阻力损失之和。换句话说，在定常条件下，沿流动方向，流体单位总机械能总是减小的，反映了机械能既转换又守恒的关系，因此伯努利方程式是能量守衡定律在流体动力学中的应用，又称为能量方程。hgvPZgvPZ222222211110总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。***************************************对于理想元流，其任意两个过水断面的单位总机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过水断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过水断面的总机械能（即能量流量）也相等。11代表单位重力流体的位置势能zppzgv22gvpzH22代表单位重力流体的压强势能代表单位重力流体的总势能代表单位重力流体的动能代表单位重力流体的总机械能h代表单位重力流体克服流动阻力而消耗掉的机械能12水头线将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。测压管水头线总水头线位置水头线zpgv22水平基准线Hoo3、伯努利能线图（水头线）理想流体恒定元流的总水头线是水平的。13位置水头线实际流体总水头线水平基准线测压管水头线oozpgv22h理想流体总水头线特点：实际流体恒定元流的总水头线是下降的，其它水头线可升可降。14（三）元流伯努利方程的应用速度求容器小孔射出的水流hgvPZgvPZBaBAaA22220,,0hhvvvABA也可略去为小量这里AhaPBv射出小孔的诸元流都通到大气界面上，小孔中心B处的元流来自自由界面之上的A处（不必确定一点），对A、B两点列伯努利方程：15gvZZBBA22BABZZgv22gh托里拆利定理—由实验来确定修正系数则不能忽略的话如果,2:,ghvhBhgvPZgvPZBaBAaA222216二、总流的伯努利方程1、总流伯努利方程的建立如图所示为一总流，上、下游各取一过水断面，在断面上任取一元流，对该元流列伯努利能量方程：1111,vzp1221dA2dA222,vzphgvPZgvPZ2222222111单位时间内两元流过水断面间的能量关系有：1711211112dAvgvPZA22222222dAvhgvPZA11211111112dAvgvdAvPZAA222222112111)2()2(dAvhgvPZdAvgvPZ将元流迭加，得单位时间内总流过水断面1-1和2-2间的能量关系式：22222dAvPZA222222222AAdAvhdAvgv上式可改写为：18根据连续方程，有：vdAdAvdAv2211为得到便于应用的形式，需作以下处理：constPZ:对于渐变流AVAqPZvdAPZvdAPZ所以有：体积流量渐变流有两个特点：（1）流线间的夹角很小，流线几乎是平行的；（2）流线具有很大的曲率半径，即流体惯性很小，可近似认为质量力只有重力。19vdAgvA22,2,2VqgvAv可写成的动能则单位时间内流过断面引入断面平均流速vAqgvvdAgv2222速分布的均匀程度值取决于过水断面上流动能修正系数—,1,32AvdAv流速分布越均匀，α越接近于1.0；流速分布越不均匀，α的数值越大。在一般的渐变流中的α值为1.05-1.10。为简单起见，也常近似地取α=1.0。的动能水断面表示单位时间内流过过A20:,A即表示失平均值可用单位重流体阻力损hvdAh：可得总流的伯努利方程hgvPZgvPZ222222221111hgvPZgvPZ222222221111:代替常用平均速度vvAVqhvdAh21总流水头线的画法和元流水头线是相仿的，其中位置水头线一般为总流断面中心线。恒定总流能量方程的几何表示——水头线与元流一样，恒定总流能量方程的各项也都是长度量纲，所以可将它们几何表示出来，画成水头线，使沿流能量的转换和变化情况更直观、更形象。水平基准线位置水头线测压管水头线总水头线oozpgv22wh***********22均匀流的过水断面上粘性力的分量为零，只有压差力与重力之间的平衡，所以动水压强按静水压强的规律分布。均匀流的过水断面上测压管水头是常数只能在同一过水断面上应用上述结论，因为x方向的运动方程里有粘性力项，所以沿着流动方向动水压强分布不同于静水压强，导致不同过水断面上测压管水头可能是不同的常数。渐变流近似于均匀流，所以渐变流过水断面上的测压管水头可视为常数，任何一点的测压管水头都可以当作过水断面的平均测压管水头。************^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^23渐变流过水断面上测压管水头的积分VAVqpzqpz)(d)(急变流中同一过水断面上的测压管水头不是常数，因为急变流中，位变加速度不等于零，过水断面上有压差力、重力和惯性力的分量，不再是仅有压差力和重力相平衡的情况，惯性力也参与进来了，造成断面测压管水头不等于常数。^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^24渐变流过流断面上测压管水头是常数31OO1232pz2523z11pz33p2pz2OO1急变流过流断面上测压管水头不是常数离心力方向262、总流伯努利方程应用注意事项（1）总流伯努利方程式的应用条件不可压缩流体的定常流动；质量力只有重力；所取断面应是渐变流断面，但在其间可不必要求；没有其它形式的能量的输入输出；上、下游两过水断面属于同一个总流，无总流的分出、汇入。27取定基准面后，位置水头Z原则上与P/γ取在过水断面上的同一点，一般为过水断面的中心位置；P可取绝对压强，也可取相对压强，但方程两端要一致；α值，紊流α=1，层流α=2；hω=Σhf+Σhj：沿程阻力损失与局部阻力损失之和。hf（沿程阻力损失）—与流道的形状无关，取决于流体的属性（粘性）。hj（局部阻力损失）——与流道的形状有关。（2）方程中各项的取值28（1）沿程有能量输入或输出的伯努利方程式3、总流伯努利方程的扩充总流两断面间如果装有泵、风机、水轮机等装置，流体流经这些装置就会有能量交换，则总流的伯努利方程式为：212222211122hgvgpzHgvgpzPHP——对流过总流两断面间每单位重流体输入或输出的能量。“+”——对应于水泵；“-”——对应于水轮机。291122ooz水泵管路系统21222222111122wphgvpzHgvpz==000z21wphzH水泵3021wphzHppVpHqN水泵的功率单位时间水流获得总能量分子水泵效率分母扬程扬程提水高度31引水渠压力钢管水轮机122ooz1水轮机管路系统21222222111122wphgvpzHgvpz=z0=0021wphzH3221wphzHpVttHqN水轮机功率单位时间水流输出总能量水轮机效率扬程水轮机作用水头不包括水轮机系统内的损失pVHqt33（2）沿程有分流的伯努利方程式1q2113322q3q321qqq通过过流断面1的流体，不是流向断面2，就是流向断面3，对断面1-2，1-3分别列出伯努利方程式：3123333211112122222211112222hgvgpzgvgpzhgvgpzgvgpz342212112211221223333313222pvpvgqzgqzhggggpvgqzhgg将上面方程1乘以，方程2乘以，然后相加，且，最后得分流的伯努利方程式：3gq2gq321qqq35（3）沿程有汇流的伯努利方程式同理可得汇流的伯努利方程式：221211221122233333113223222pvpvgqzgqzggggpvgqzgqhgqhgg1q213322q13q321qqq364、总流伯努利方程的应用恒定总流伯努利能量方程表明三种机械能相互转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具体流动的边界条件求解实际总流问题。(1)一个跌水的例子取顶上水