35正态分布

第三章概率与统计3.5正态分布创设情境兴趣导入为了了解中职学校女学生的身体发育情况，在某校16岁的女生中，选出60名学生进行身高测量，结果如下（单位：cm）167154159166169159156166162158159156166160164160157151157161158158153158164158163158153157162162159154165166157151146151158160165158163163162161154165162162159157159149164168159153创设情境兴趣导入下面根据这些数据绘制频率分布直方图．（1）上述60个数据中，最大值为169，最小值为146．它们的差是169－149=23．取组距为3，由于232733，故将全部数据分为8组．为下列各区间：［145.5，148.5），［148.5，151.5），［151.5，154.5），［154.5，157.5），［157.5，160.5），［160.5，163.5），［163.5，166.5），［166.5，169.5）．创设情境兴趣导入下面根据这些数据绘制频率分布直方图．（2）计算出各小组的频数、频率，列出频率分布表：正正正正1.00060合计0.0503［166.5，169.5）0.16710正正［163.5，166.5）0.18311正正￣［160.5，163.5）0.30018［157.5，160.5）0.1338［154.5，157.5）0.1006正￣［151.5，154.5）0.0503［148.5，151.5）0.0171一［145.5，148.5）频率频数个数累计分组一一创设情境兴趣导入下面根据这些数据绘制频率分布直方图．（3）绘制频率分布直方图（如图）动脑思考探索新知从频率直方图看出，该校16岁女生的身高的分布状况具有“中间高、两头低”的特点，即身高在157.5cm至160.5cm的人数最多，往左右两边区间内的人数越少，而且左右两边近似对称．样本容量越大，所分组数会相应越多，频率分布直方图中的小矩形就变窄．设想如果样本容量无限增大，且分组的组距无限缩小，那么频率分布直方图所有的小矩形的上端会无限地接近于一条光滑曲线()yfx，我们把这条曲线叫做概率密度曲线（如图）．动脑思考探索新知概率密度曲线精确地反映了随机变量在各个范围内取值的规律．以这条曲线为图像的函数y＝f（x）叫做的概率密度函数．如图，在区间（a，b）内取值的概率恰好为()Pab图中阴影部分的面积．在区间（-∞，a）取值的概率()Pa恰好是位于曲线与x轴之间，直线x＝a左侧部分图形的面积．动脑思考探索新知一般地，如果随机变量的概率密度函数是22()21(),()2πxfxex,2,其中是常数，且＞0,那么称服从参数为的正称为正态随机变量．2~(,),N此时的密度曲线称为正态曲线,态分布,简记为动脑思考探索新知正态曲线具有以下性质（如图所示）；（1）曲线在x轴的上方,并且关于直线x对称；（2）曲线在x时处于最高点，由这点此向左、右两边延伸时，曲线逐渐降低，呈现中间高，两边低的形状；的值确定，（3）曲线的对称轴位置由的值确定，曲线形状由越大，曲线越矮胖；越小，曲线越高瘦．动脑思考探索新知，的正态分布中，可以证明（证明略）在参数为为的均值，的方差，2为为的标准差．0,1的正态分布叫做标准正态分布，即~(01)N，．标准正态分布的密度函数为221(),()2πxfxex相应的曲线叫做标准正态分布曲线（如图）．动脑思考探索新知设随机变量~(01)N，．由概率密度曲线的定义知道，任给区间（-∞，a），()Pa的值为下图中阴影部分的面积．动脑思考探索新知设随机变量~(01)N，．由概率密度曲线的定义知道，任给区间（-∞，a），()Pa的值为下图中阴影部分的面积．()Pab的值为下图中阴影部分的面积．因此，()PabPbPa（）（）．动脑思考探索新知设随机变量~(01)N，．由概率密度曲线的定义知道，任给区间（-∞，a），()Pa的值为下图中阴影部分的面积．()Pab的值为下图中阴影部分的面积．因此，()PabPbPa（）（）．0()Px可以通过教材附录中“标准正态分布表”求出．表中与0x相对应的值0()x就是随机变量小于0x的概率．即00()()xPx．因此当随机变量~(0,1)N时，()()()Pabba．动脑思考探索新知由下图看到，标准正态曲线是关于y轴对称的．因此在标准正态分布表中只给出了非负值0x的对应值0()x．动脑思考探索新知在实际计算中，如果00x＜，那么由标准正态曲线的性质可知，下图中两个阴影部分的面积是相等的．由此可知，00()1()xx．可以证明（证明略），当2~(,)N时，有()()xPx．因此()()()baPab．在实际问题中，经常会遇到正态分布．例如，测量的误差，炮弹的落点，产品的某项质量指标等都服从正态分布．巩固知识典型例题例1已知13，，求随机变量取值小于4的概率．解因为13，，故41(4)()(1)0.84133P．巩固知识典型例题例2已知随机变量~(1)N0，，求(10)P．解(10)P(0)(1)(0)1(1)(0)(1)10.50.841310.3413．巩固知识典型例题例3某厂加工一批零件，零件的直径~(40,4)N（单位：mm）（1）求(4143)P；（2）该厂某一周加工该零件5000个，求直径在41～43mm之间的零件的大约个数．解（1）因为402，，故43404140(4143)()()22P≤≤(1.5)(0.5)0.2417．（2）由于加工零件的直径在41mm～43mm之间的概率为0.2417，由概率的定义知，零件的大约个数为0.2417×5000=1208.5≈1209.动脑思考探索新知经过推证和计算可以得到，正态分布在几个区间内取值的概率如图所示．由图中可以看出，正态随机变量在区间(2,2)以外取值的概率小于4.6%，在区间(3,3)以外取值的概率小于0.3%.由于这些概率的值很小，通常称这类事件为小概率事件．一般认为，小概率事件在一次实验中几乎是不可能发生的．动脑思考探索新知由此得到企业管理质量控制的主要规则——“3规则”．根据这个规则，产品的质量指标应落在上、下管理限33和之间．可以通过抽样检查来判断生产过程是否出现异常．例如，假设一个工人加工出的轴的直径尺寸2~(,)N，(3,3)那么轴的直径尺寸在区间内取值的概率为99.7%．而落在区间以外的概率只有0.3%．(3,3)这种小概率事件一旦发生，说明生产中可能出现了异常情况，应该停止生产查明原因，及时采取措施使生产恢复正常．巩固知识典型例题~(1000,30),N例4某灯泡厂生产的白炽灯泡的寿命为（单位：小时），要保证灯泡的平均寿命为1000小时的概率已知不小于99.7%，应将灯泡的寿命控制在多少小时以上？(910,1090)即内取值的概率为99.7%，解已知~(1000,30),N而在区间(1000330,1000330),N故应将灯泡的寿命控制在910小时以上．运用知识强化练习0.62470.9500（1）　；（2）　．设~(0,1)N，利用标准正态分布表，求随机变量在下面区间内取值的概率：(0.5,1.5)(1)(2)(1.96,1.96)．一般地，如果随机变量的概率密度函数是22()21(),()2πxfxex,2,其中是常数，且＞0,那么称服从参数为2~(,)N．的正态分布,简记为理论升华整体建构什么叫做正态分布？自我反思目标检测64g9均值为；方差为．某工厂生产某种型号的零件，设零件的重量服从正态(64,9)N，单位：g，指出的均值与方差．分布继续探索活动探究基础训练及对口升学精讲精练书面作业：教材习题Ｐ46习题T3,T4