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12016届高三理科数学试题(36)第I卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.设集合2{|21},{|10}xAxBxx,则AB等于AA.{|1}xxB.{|12}xxC.{|01}xxD.{|01}xx2.若复数ZRaiia(213,i是虚数单位)是纯虚数,则在复平面内Z对应点的坐标为CA.(0,2)B.(0,3i)C.(0,3)D.(0,i2)3.下列命题正确的是DA.已知011:,011:xpxp则;B.存在实数Rx,使2cossinxx成立;C.命题p:对任意的01,2xxRx,则p:对任意的01,2xxRx;D.若p或q为假命题,则p,q均为假命题4.把函数)6sin(xy图象上各点的横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变),再将图象向右平移3个单位,那么所得图象的一条对称轴方程为DA.8xB.4xC.4xD.2x5.某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积等于CA.10B.15C.20D.306.执行如图所示的程序框图,输出S的值为CA.3B.-6C.10D.1243527.ABCV中,点D在AB上,CD平方ACB.若CBauurr,CAbuurr,1ar,2br,则CDuuurBA1233abrrB2133abrrC3455abrrD4355abrr8.已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AB=2,若棱AB上存在点P,使得,则AD的取值范围是()CA.B.C.D.9.若点(4,tanθ)在函数y=log2x的图像上,则2cos2θ=AA.25B.15C.12D.3510.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=﹣f(x),若f(﹣1)>﹣2,f(﹣7)=,则实数a的取值范围为DA.B.(﹣2,1)C.D.11.若曲线y=与曲线y=alnx在它们的公共点P(s,t)处具有公共切线,则实数a=CA.﹣2B.C.1D.212.已知椭圆(a>b>0)的半焦距为c(c>0),左焦点为F,右顶点为A,抛物线与椭圆交于B、C两点,若四边形ABFC是菱形,则椭圆的离心率是DA.B.C.D.第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分,第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须做答,第(22)题~第(24)题为选考题,考试根据要求做答。3二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.在(1+x)6(1+y)4的展开式中,xy2项的系数是.3614.已知函数(2),0()31,0xfxxfxx,则f(2016)=015.在平面直角坐标系中,已知点P(4,0),Q(0,4),M,N分别是x轴和y轴上的动点,若以MN为直径的圆C与直线PQ相切,当圆C的面积最小时,在四边形MPQN内任取一点,则这点落在圆C内的概率是..16.在△ABC中,若(sinA+sinB):(sinA+sinC):(sinB+sinC)=4:5:6,且该三角形的面积为315,则△ABC的最大边长等于14.三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤17.(本小题满分12分)已知数列}{na满足)(3)1)(1(11nnnnaaaa,21a,令11nnab.(Ⅰ)求数列}{nb的通项公式;(II)求数列{3}nnb的前n项和nS.解:(Ⅰ))1()1(3)1)(1(11nnnnaaaa,3111111nnaa,即311nnbb,1233nbn.………6分(II)13(2)3nnnbn,021537393323nnSn----(1)1233537393323nnSn----(2)(1)—(2)得:21252333323nnnSn3335.22nnnS18.(本小题满分12分)某电子广告牌连续播出四个广告,假设每个广告所需的时间互相独立,且都是整数分钟,经统计,以往播出100次所需的时间(t)的情况如下:类别1号广告2号广告3号广告4号广告广告次数20304010时间t(分钟/人)2346每次随机播出,若将频率视为概率.4(Ⅰ)求恰好在第6分钟后开始播出第3号广告的概率;(II)用X表示至第4分钟末已完整播出广告的次数,求x的分布列及数学期望.解:(Ⅰ)由条件知2341,,,.10101010ABCDPPPP3212232412191010101010500PC.(II)0,1,2012P11079100410017920119012.10100100100E19.(本小题满分12分)在四棱锥PABCD中,底面ABCD为直角梯形,//ADBC,ABBC侧面PAB底面ABCD,2PAADAB,4BC,060PAB(I)若PB中点为.求证://AEPCD平面;(II)若,求直线BD与平面PCD所成角的正弦值.(I)证明:取PC的中点,连结DF,EF//ADEF,且ADEF,所以ADFE为平行四边形.//AEDF,且AE不在平面PCD内,DF在平面PCD内,所以//AEPCD平面(II)直线BD与平面PCD所成角的正弦值10sin5.20.(本小题满分12分)定义:若两个椭圆的离心率相等,则称两个椭圆是“相似”的.如图,椭圆C1与椭圆C2是相似的两个椭圆,并且相交于上下两个顶点.椭圆C1:的长轴长是4,椭圆C2:短轴长是1,点F1,F2分别是椭圆C1的左焦点与右焦点,(Ⅰ)求椭圆C1,C2的方程;APBCD5(Ⅱ)过F1的直线交椭圆C2于点M,N,求△F2MN面积的最大值.解:(Ⅰ)设椭圆C1的半焦距为c,椭圆C2的半焦距为c'.由已知a=2,b=m,.∵椭圆C1与椭圆C2的离心率相等,即,∴,即∴,即bm=b2=an=1,∴b=m=1,∴椭圆C1的方程是,椭圆C2的方程是;…………5分(Ⅱ)显然直线的斜率不为0,故可设直线的方程为:.联立:,得,即,∴△=192m2﹣44(1+4m2)=16m2﹣44>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则,,∴,△F2MN的高即为点F2到直线的距离.∴△F2MN的面积,……10分∵,当且仅当,即时,等号成立∴,即△F2MN的面积的最大值为.…………12分21.(本小题满分12分)6已知函数2ln1fxaxx(Ⅰ)求曲线yfx在点1,1f处的切线方程;(Ⅱ)若关于x的不等式1fxbx在1,e上恒成立,其中,ab为实数,求a的取值范围.解:(Ⅰ)求导'2afxxx,'12fa又10f,所以曲线yfx在点1,1f处的切线方程为21yax即220axya…………4分(Ⅱ)设1gxfxbx即0gx在1,e上恒成立,又10g有1gxg恒成立即1x处取得极小值,得'120gab…6分所以2ba,从而'212axxgxx(ⅰ)当12ae时,gx在1,1e上单调递减,在1,上单调递增,所以1gxg即2ae…………8分(ⅱ)112ae时,gx在1,2ae上单调递增,在,12a单调递减,在1,上单调递增,则只需211210ageeee,解得212aeee…………10分(ⅲ)当12a时,,gx在1,1e上单调递增,1,2a单调递减,在1,上单调递增,由102agg知不符合题意,.综上,a的取值范围是12aee…………12分22.(本小题满分10分)选修4-1:几何证明选讲如图,已知AB为⊙O的直径,CE⊥AB于点H,与⊙O交于点C、D,且AB=10,CD=8,DE=4,EF与⊙O切于点F,BF与HD交于点G.(Ⅰ)证明:EF=EG;7(Ⅱ)求GH的长.(Ⅰ)证明:连接AF、OE、OF,则A,F,G,H四点共圆由EF是切线知OF⊥EF,∠BAF=∠EFG∵CE⊥AB于点H,AF⊥BF,∴∠FGE=∠BAF∴∠FGE=∠EFG,∴EF=EG………………5分(Ⅱ)解:∵OE2=OH2+HE2=OF2+EF2,∴EF2=OH2+HE2﹣OF2=48,∴EF=EG=4,∴GH=EH﹣EG=8﹣4………………10分23.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在平面直角坐标系xoy中,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中,直线l的极坐标方程为()4R,曲线C的参数方程为2cossinxy.(Ⅰ)写出直线l及曲线C的直角坐标方程;(Ⅱ)过点M平行于直线l的直线与曲线C交于,AB两点,若83MAMB,求点M轨迹的直角坐标方程.解:(Ⅰ)直线:lyx,曲线22:12xCy……………………4分(Ⅱ)设点00,Mxy及过点M的直线为01022:22txxltyy由直线1l与曲线C相交可得:222000032222202ttxtyxy8220022883332xyMAMB,即:220026xy2226xy表示一椭圆……………………8分取yxm代入2212xy得:2234220xmxm由0得33m故点M的轨迹是椭圆2226xy夹在平行直线3yx之间的两段椭圆弧……10分24.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲已知函数()223,()12fxxaxgxx.(Ⅰ)解不等式:()5gx;(Ⅱ)若对任意的1xR,都有2xR,使得12()()fxgx成立,求实数a的取值范围.解:(Ⅰ)由125x得5125x713x得不等式的解为24x……………………5分(Ⅱ)因为任意1xR,都有2xR,使得12()()fxgx成立,所以{|()}{|()}yyfxyygx,又()223|(2)(23)||3|fxxaxxaxa,()|1|22gxx,所以|3|2a,解得1a或5a,所以实数a的取值范围为1a或5a.……………………10分
本文标题:2016届高三理科数学试题(36)
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