3全概率公式和贝叶斯公式

93.全概率公式和贝叶斯公式【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第一章第§5的条件概率中的全概率公式和贝叶斯公式【教材分析】：前面讲到的条件概率是概率论的基本概念，下一节的独立性和条件概率关系紧密，而乘法公式、全概率公式和贝叶斯公式是与条件概率有密切关系的公式，因此掌握此概念及计算公式为后续学习打下基础。【学情分析】：1、知识经验分析前一节已经学习了条件概率和乘法公式，学生已经掌握了事件的概率的基本计算方法。2、学习能力分析学生虽然具备一定的基础知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。【教学目标】：1、知识与技能掌握全概率公式和贝叶斯公式以及计算。2、过程与方法由本节内容的特点，教学中采用启发式教学法，应用实际问题逐步推导出全概率公式和贝叶斯公式。3、情感态度与价值观通过学习，培养学生学习数学的良好思维习惯和兴趣，树立学生善于创新的思维品质和严谨的科学态度。【教学重点、难点】：重点：掌握全概率公式和贝叶斯公式并会适当的应用。难点：全概率公式和贝叶斯公式各自的适用条件及不同的情形。【教学方法】：讲授法启发式教学法【教学课时】：1个课时【教学过程】：一、问题引入引例：三个罐子分别编号为1，2，3，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，103号装有2红2黑球。某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。解：记iB={球取自i号罐}i=1，2，3；A={取得红球}，显然A的发生总是伴随着123BBB，，之一同时发生，即123+AABABAB，且123,,ABABAB两两互斥。123()()+()()PAPABPABPAB31()(|)iiiPBPABP(A|B1)=2/3，234PAB312PAB代入数据计算得：0.639PA【设计意图】：让学生感受到数学与生活“零距离”，从而激发学生学习数学的兴趣，使学生获得良好的价值观和情感态度。二、全概率公式1、全概率公式：定义3若n个事件12......nBBB，满足1niiBS，ijBB(),,1,2,ijijn，则称12......nBBB，为S的一个划分，或称其是一个完备事件组。定理设12......nBBB，是S的一个划分，且0,1,2,....iPBin则对任一事件AS，有1()()(|)niiiPAPBPAB例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?解：设事件A为“任取一件为次品”，摂,1,2,3.iBii事件为任取一件为厂的产品123,BBBS,,1,2,3.ijBBij由全概率公式得1nB1B2B3BnB11112233()()()()()()().PAPABPBPABPBPABPB123()0.3,()0.5,()0.2,PBPBPB123()0.02,()0.01,()0.01,PABPABPAB112233()()()()()()()PAPABPBPABPBPABPB故0.020.30.010.50.010.20.013.【设计意图】：通过这个例子，让学生感受全概率公式解决实际问题的重要性。三、贝叶斯公式贝叶斯（Bayes）公式),,2,1()()()()()(1niBPBAPBPBAPABPnkkkiii其中12......nBBB，为样本空间S的一个划分，且0,0,1,2,....kPAPBkn，其中,1,2,....kPBkn称为原因的先验概率，它们是在没有进一步信息(不知道事件A是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。当有了新的信息(知道A发生了)，人们对诸事件发生可能性大小()iPBA有了新的估计，故()iPBA称为原因的后验概率。下面的图或许可以有助于我们理解这两个公式。例3三部自动的机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%，已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格，现从总产品中随即地抽取一个零件，发现是不合格品，求：(1)它是由机器甲生产出来的概率；(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大。解：设123BBB，，分别表示事件：任取的零件为甲、乙、丙机器生产，A={抽取的零件是不合格品}，由条件知12121123()0.40,()0.25,()0.35,(|)0.10,(|)0.05,(|)0.01,PBPBPBPABPABPAB(1)所求概率为1(|)PBA，31111(|)()(|)()(|)jjjPBAPBPABPBPAB0.714；(2)类似(1)的计算可得20.223PBA，30.063PBA比较可知是机器甲生产出来的可能性大。【设计意图】：通过这个例子，区分全概率和贝叶斯公式。四、思考与提问：全概率公式和贝叶斯的区别？五、内容小结：1、全概率公式1()()(|)niiiPAPBPAB2、贝叶斯公式1()(|)(|)()(|)iinijjjPBPABPBAPBPAB六、课外作业：P26：20，22，23，24七、板书设计全概率公式和贝叶斯公式一、问题引入引例：三个罐子分别编号为1，2，3，1号装有2红1黑球，2号装有3红1黑球，3号装有2红2黑球。某人从中随机取一罐，再从中任意取出一球，求取得红球的概率。二、全概率公式1、全概率公式：定义3若n个事件12......nBBB，满足1niiBS，ijBB(),,1,2,ijijn，则称12......nBBB，为S的一个划分，或称其是一个完备事件组。定理设12......nBBB，是S的一个划分，且0,1,2,....iPBin则对任一事件AS，有1()()(|)niiiPAPBPAB13例1有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，又知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少?三、贝叶斯公式贝叶斯（Bayes）公式),,2,1()()()()()(1niBPBAPBPBAPABPnkkkiii其中12......nBBB，为样本空间S的一个划分，且0,0,1,2,....kPAPBkn，其中,1,2,....kPBkn称为原因的先验概率，它们是在没有进一步信息(不知道事件A是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识。当有了新的信息(知道A发生了)，人们对诸事件发生可能性大小()iPBA有了新的估计，故()iPBA称为原因的后验概率。下面的图或许可以有助于我们理解这两个公式。例3三部自动的机器生产同样的零件，其中机器甲生产的占40%，机器乙生产的占25%，机器丙生产的占35%，已知机器甲、乙、丙生产的零件分别有10%、5%和1%不合格，现从总产品中随即地抽取一个零件，发现是不合格品，求：(1)它是由机器甲生产出来的概率；，(2)它是由哪一部机器生产出来的可能性大。14