2016年教育学考研大纲解析及复习规划

第三章复变函数的积分本章介绍复变函数的积分概念，解析函数积分的主要性质.重点是Cauchy积分定理、Cauchy积分公式、Cauchy(高阶)导数公式.§3.1复变函数的积分1积分的概念2积分存在条件及性质3积分实例1.积分的概念设C为平面上给定的一条连续曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线。xyoAB如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,.C记为关于实变函数积分定义.211()dxlim().nxkkxnkfxfxx简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P沿此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.xyoPPPP与之相反的方向就是曲线的负方向.关于曲线方向的说明:以后把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.,,,,,,,,,,)(110BzzzzzAnCBADCDzfwnkk设分点为个弧段任意分成把曲线的一条光滑的有向曲线终点为内起点为为区域内定义在区域设函数oxyAB1nzkz1kz2z1zkC12,1kkkzzz记,1的长度为kkkzzs,),,2,1(1kkknkzz上任意取一点在每个弧段,)()()(111knkknkkkknzfzzfS作和式oxyAB1nzkz1kz2z1zkC12},{max1knks令,0时无限增加且当n,)(,,记为的积分沿曲线函数那么称这极限值为一极限有唯的取法如何的分法及如果不论对CzfSCnk.)(limd)(1knkknCzfzzf关于积分定义的说明:.d)(,)1(CzzfC记为那么沿此闭曲线的积分是闭曲线如果.,)()(,)2(变函数定积分的定义实这个积分定义就是一元为实函数而轴上的区间是如果xuzfbxaxC2.积分存在的条件及积分性质.d)(,)(一定存在积分是光滑曲线时是连续函数而如果CzzfCzfnkkkkkkknkkkkkkknkkkyuxviyvxuzf111]),(),([]),(),([)(Czzfd)(CyvxuddCyuxvddi:ddd)(相乘后求积分得到与yixzivuzfCzzfd)(Cyixivu)dd)((Cyvyiuxivxudddd.ddddCCyuxviyvxuCzzfd)(CyvxuddCyuxvddi从形式上可以看成是公式复变函数的积分与实函数的积分有类似的性质.;d)(d)()1(CCzzfzzf)(;d)(d)()2(为常数kzzfkzzkfCC;d)(d)(d)]()([)3(CCCzzgzzfzzgzf21d)(d)(d)(,C)4(2121CCCzzfzzfzzfCCCC则的起点，的终点是设CCMLszfzzfMzfCzfLC.d)(d)(,)()(,)5(则上满足在函数的长度为设曲线估值不等式例1解.d1,43模的一个上界积分试估计的直线段为从原点到点设CziziC1),(0,)43(ttizC的参数方程为Czizd1Csizd1C)14(31dsitt因此Cdstt22)14()3(1Cdst2592542512.325d35d1CCsziz故3.积分的计算则的终点，是的起点是滑曲线，是一条光设CzCzttiytxtzzC)(,)()()()()(:ttytytxutxtytxvittytytxvtxtytxuzzfCd)}()](),([)()](),([{d)}()](),([)()](),([{d)(ttyitxtytxivtytxud)}()()]}{(),([)](),([{.d)()]([ttztzf参数方程求法例2解.2:,dzCzzC圆周为其中计算积分路径的参数方程为),π20(2iezd2diiezCzzdπ20d22iie)2(z因为π20d)sin(cos4ii.0例3解.,,,d)(1010为整数径的正向圆周为半为中心为以求nrzCzzzCnzxyor0z积分路径的参数方程为),π20(0irezzCnzzzd)(110π20)1(1dninierire2π2π02π001dn=0ddn0inninniieirerzxyor0z,0时当nCnzzzd)(110π20di;2i,0时当nCnzzzd)(110π20d)sin(cosninrin;0rzznzzz0d)(110所以.0,0,0,2nni重要结论：积分值与路径圆周的中心、半径无关.例4解.43:,d的直线段从原点到点计算iCzzC直线方程为,10,4,3ttytx,)43(,tizC上在,d)43(dtizd)43(d102ttizzCd)43(102tti.2)43(2i解例5.11(3);1(2);1(1):d,dRe2的折线再到轴到点从原点沿的弧段上从原点到点抛物线的直线段从原点到点为其中计算ixixyiCzzzzCC(1)积分路径的参数方程为),10()(titttz,d)1(d,Retiztz于是CzzdRe10d)1(tit);1(21ixyoi11id)1(d102ttizzCd)1(102itti(2)积分路径的参数方程为xyoi11i2xy),10()(2titttz,d)21(d,Rettiztz于是CzzdRe10d)21(titt1032322tit;3221idCzz102d)21)((tititt1023]d3)2[(ttitt;ixyoi11i2xy(3)积分路径由两段直线段构成x轴上直线段的参数方程为),10()(tttz1到1+i直线段的参数方程为),10(1)(tittz,dd,Retztz于是,dd,1Retizz于是CzzdRe10dtt10d1ti.21idd10ttzzCd)1(10tiit.i注意1.d)(,,,d)()(,Czzfzzfzf必须记作的限制要受积分路线因这是曲线积分分记成的积的终点为一般不能把起点为注意2与积分路径有关。径无关，但曲线积分与积分路可以看出，曲线积分从例CCd)Re(d5zzzz§3.2Cauchy积分定理1.Cauchy积分定理2.复合闭路定理3.典型例题1.Cauchy积分定理首先介绍高等数学中的Green定理:)(),(),(的取正向的边界曲线。是其中，则有：，上具有一阶连续偏导数在及数围成，函由分段光滑曲线设单连通区域DLQdyPdxdxdyyPxQDyxQyxPLDLD柯西积分定理.0d)(,)(czzfCJordanDDzf有曲线内的任一可求长的上的解析函数，则对是单连通区域设DC说明：该定理的主要部分是Cauchy于1825年建立；它是复变函数理论的基础。试着证明Cauchy积分定理:)(dxdyyPxQQdyPdxDLCzzfd)(CyvxuddCyuxvddi由Green公式Cyvxudd])([dxdyyuxvD0Cyuxvdd][dxdyyvxuD0改进的Green定理:)(,),(),(的取正向的边界曲线。是其中，上连续，则有：在，且上存在在及数围成，函由分段光滑曲线设单连通区域DLQdyPdxdxdyyPxQDyPxQxQyPDyxQyxPLDLD1825年Cauchy建立该定理时，对u,v加了导数连续性条件；Gaursat去掉了导数连续性的假设。Cauchy积分定理的证明:Czzfd)(CyvxuddCyuxvddiCyvxudd])([dxdyyuxvD0Cyuxvdd][dxdyyvxuD0上可微，且在解析，由Dvuzf,)(0xvyu0yvxu由改进的Green公式czzf.0d)(注意2若曲线C是区域D的边界,)(zf函数则上连续在闭区域,CDD,内解析在D注意1定理中的C可以不是简单曲线.DC注意3定理的条件必须是“单连通区域”.注意4定理不能反过来用..)(,0d)(内处处解析在而说即不能由CzfzzfC;23211)(:内在圆环域例如zzzf.11)(:2内在例如zzzf解例11.d321zzz计算积分,1321内解析在函数zz根据Cauchy积分定理,有1.0d321zzz例2.d)1(1212izzzz计算积分解,11211)1(12izizzzz,2111上解析都在和因为izizz根据Cauchy积分定理得212d)1(1izzzz21d1211211izzizizz212121d121d121d1izizizzizzizzz021d121izzizi221.i2.复合闭路定理,,,,,,,,,,,2121DCCCCCCCCDCnn为边界的区域全含于并且以互不包含也互不相交它们内部的简单闭曲线是在内的一条简单闭曲线多连通域为设,)(内解析在如果DzfDC1C2C3C那末,d)(d)(1nkCCkzzfzzf;均取正方向及其中kCC);(,4321如图作两条辅助线AAAA,2n设证明DCA1A2A3A4C1C2EFGIH构成的边界，为这样IEAHAAGAAFAAEA12344321积分定理，所围区域内解析，由在Cauchyzf)(.0d)(zzfIEIAEAC11IEIAAAHAHAAAGAGAAAFAFAAAEA1122334444332211又23321HAHAFAFAC442GAGACDCA1A2A3A4C1C2EFGIH21.0d)(CCCzzfCCCzzfzzfzzf210d)(d)(d)(CCCzzfzzfzzf21d)(d)(d)(当n为其它值时，可同样证明。特殊情况：闭路变形原理,)()(如图在多连通域内解析设函数zf),(1正向为逆时针方向单闭曲线内的任意两条简为及DCC.11DDCC全含于为边界的区域及DC1C1DCCzzfzzf1d)(d)(由复合闭路原理这就是闭路变形原理解析函数沿闭曲线的积分,不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的值.DC1C1DCCzzfzzf1d)(d)(在变形过程中曲线不经过函数f(z)的不解析的点.说明：3.典型例题例1解.1,d122曲线在内的任何正向简单闭为包含圆周计算积分zzzzz,10122zzzzz和内有两个奇点在复平面因为函数依题意知,xyo1包含这两个奇点，,21CC和不相交的正向圆周内作两个互不包含也互在xyo1,01zC只包含奇点,12zC只包含奇点1C2C根据复合闭路原理,zzzzd12221d12d1222CCzzzzzzzz