2016年高三数学(理)创新设计资料包9-6

课件园讲双曲线基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1．(2015·甘肃二次诊断)设双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A．y＝±12xB．y＝±22xC．y＝±2xD．y＝±2x解析因为2b＝2，所以b＝1，因为2c＝23，所以c＝3，所以a＝c2－b2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±22x，故选B.答案B2．(2014·大纲全国卷)双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，焦点到渐近线的距离为3，则C的焦距等于()A．2B．22C．4D．42解析由已知，得e＝ca＝2，所以a＝12c，故b＝c2－a2＝32c，从而双曲线的渐近线方程为y＝±bax＝±3x，由焦点到渐近线的距离为3，得3c2＝3，解得c＝2，故2c＝4，故选C.答案C3．设F1，F2是双曲线x2－y224＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于()A．42B．83C．24D．48解析由|PF1|－|PF2|＝2，3|PF1|＝4|PF2|，可解得|PF1|＝8，|PF2|＝6.课件园又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S△PF1F2＝12|PF1|×|PF2|＝24.答案C4．(2014·山东卷)已知ab0，椭圆C1的方程为x2a2＋y2b2＝1，双曲线C2的方程为x2a2－y2b2＝1，C1与C2的离心率之积为32，则C2的渐近线方程为()A．x±2y＝0B.2x±y＝0C．x±2y＝0D．2x±y＝0解析椭圆C1的离心率为a2－b2a，双曲线C2的离心率为a2＋b2a，所以a2－b2a·a2＋b2a＝32，所以a4－b4＝34a4，即a4＝4b4，所以a＝2b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±12x，即x±2y＝0.答案A5．(2014·重庆卷)设F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝94ab，则该双曲线的离心率为()A.43B.53C.94D．3解析由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，又|PF1|＋|PF2|＝3b，所以(|PF1|＋|PF2|)2－(|PF1|－|PF2|)2＝9b2－4a2，即4|PF1|·|PF2|＝9b2－4a2，又4|PF1|·|PF2|＝9ab，因此9b2－4a2＝9ab，即9ba2－9ba－4＝0，则3ba＋13ba－4＝0，解得ba＝43ba＝－13舍去，则双曲线的离心率e＝1＋ba2＝53.答案B课件园二、填空题6．(2014·北京卷)设双曲线C经过点(2，2)，且与y24－x2＝1具有相同渐近线，则C的方程为________；渐近线方程为________．解析设C的方程为y24－x2＝λ(λ≠0)，把点(2，2)代入上式得λ＝－3，所以C的方程为x23－y212＝1，其渐近线方程为y＝±2x.答案x23－y212＝1y＝±2x7．已知双曲线x2m－y23m＝1的一个焦点是(0，2)，椭圆y2n－x2m＝1的焦距等于4，则n＝________．解析因为双曲线的焦点(0，2)，所以焦点在y轴上，所以双曲线的方程为y2－3m－x2－m＝1，即a2＝－3m，b2＝－m，所以c2＝－3m－m＝－4m＝4，解得m＝－1.所以椭圆方程为y2n＋x2＝1，且n＞0，椭圆的焦距为4，所以c2＝n－1＝4或1－n＝4，解得n＝5或－3(舍去)．答案58．已知F为双曲线C：x29－y216＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5，0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．解析由x29－y216＝1，得a＝3，b＝4，c＝5.∴|PQ|＝4b＝162a.又∵A(5，0)在线段PQ上，∴P，Q在双曲线的右支上，且PQ所在直线过双曲线的右焦点，由双曲线定义知|PF|－|PA|＝2a＝6，|QF|－|QA|＝2a＝6，∴|PF|＋|QF|＝28.∴△PQF的周长是|PF|＋|QF|＋|PQ|＝28＋16＝44.答案44三、解答题9．已知椭圆D：x250＋y225＝1与圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆D有相同焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程．课件园(－5，0)，F2(5，0)，因而双曲线中心在原点，焦点在x轴上，且c＝5.设双曲线G的方程为x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)，∴渐近线方程为bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圆心M(0，5)到两条渐近线的距离为r＝3.∴|5a|b2＋a2＝3，得a＝3，b＝4，∴双曲线G的方程为x29－y216＝1.10．已知双曲线y2a2－x2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为2x＋y＝0，且顶点到渐近线的距离为255.(1)求此双曲线的方程；(2)设P为双曲线上一点，A，B两点在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、二象限，若AP→＝PB→，求△AOB的面积．解(1)依题意得ab＝2，|2×0＋a|5＝255，解得a＝2，b＝1，故双曲线的方程为y24－x2＝1.(2)由(1)知双曲线的渐近线方程为y＝±2x，设A(m，2m)，B(－n，2n)，其中m＞0，n＞0，由AP→＝PB→得点P的坐标为m－n2，m＋n.将点P的坐标代入y24－x2＝1，整理得mn＝1.设∠AOB＝2θ，∵tanπ2－θ＝2，则tanθ＝12，从而sin2θ＝45.又|OA|＝5m，|OB|＝5n，∴S△AOB＝12|OA||OB|sin2θ＝2mn＝2.课件园能力提升题组(建议用时：25分钟)11．过双曲线C：x2a2－y2b2＝1的右顶点作x轴的垂线，与C的一条渐近线相交于点A.若以C的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A，O两点(O为坐标原点)，则双曲线C的方程为()A.x24－y212＝1B.x27－y29＝1C.x28－y28＝1D.x212－y24＝1解析由双曲线方程知右顶点为(a，0)，不妨设其中一条渐近线方程为y＝bax，因此可设点A的坐标为(a，b)．设右焦点为F(c，0)，由已知可知c＝4，且|AF|＝4，即(c－a)2＋b2＝16，所以有(c－a)2＋b2＝c2，又c2＝a2＋b2，则c＝2a，即a＝c2＝2，所以b2＝c2－a2＝42－22＝12.故双曲线的方程为x24－y212＝1，故选A.答案A12．(2015·石家庄模拟)已知点F是双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(1，2)C．(1，1＋2)D．(2，1＋2)解析由题意易知点F的坐标为(－c，0)，A(－c，b2a)，B(－c，－b2a)，E(a，0)，因为△ABE是锐角三角形，所以EA→·EB→0，即EA→·EB→＝(－c－a，b2a)·(－c－a，－b2a)0，整理得3e2＋2ee4，∴e(e3－3e－3＋1)0，∴e(e＋1)2(e－2)0，解得e∈(0，2)，又e1，∴e∈(1，2)，故选B.答案B课件园．(2014·惠州模拟)已知F1，F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆外，则双曲线离心率的取值范围是________．解析如图所示，过点F2(c，0)且与渐近线y＝bax平行的直线为y＝ba(x－c)，与另一条渐近线y＝－bax，联立得y＝ba（x－c），y＝－bax，解得x＝c2，y＝－bc2a，即点Mc2，－bc2a.∴|OM|＝c22＋－bc2a2＝c21＋ba2.∵点M在以线段F1F2为直径的圆外，∴|OM|＞c，即c21＋ba2＞c，得1＋ba2＞2.∴双曲线率心率e＝ca＝1＋ba2＞2.故双曲线离心率的取值范围是(2，＋∞)．答案(2，＋∞)14.如图，O为坐标原点，双曲线C1：x2a21－y2b21＝1(a1＞0，b1＞0)和椭圆C2：y2a22＋x2b22＝1(a2＞b2＞0)均过点P233，1，且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形．(1)求C1，C2的方程；(2)是否存在直线l，使得l与C1交于A，B两点，与课件园只有一个公共点，且|OA→＋OB→|＝|AB→|？证明你的结论．解(1)设C2的焦距为2c2，由题意知，2c2＝2，2a1＝2，从而a1＝1，c2＝1.因为点P233，1在双曲线x2－y2b21＝1上，所以2332－1b21＝1.故b21＝3.由椭圆的定义知2a2＝2332＋（1－1）2＋2332＋（1＋1）2＝23.于是a2＝3，b22＝a22－c22＝2，故C1，C2的方程分别为x2－y23＝1，y23＋x22＝1.(2)不存在符合题设条件的直线．①若直线l垂直于x轴，因为l与C2只有一个公共点，所以直线l的方程为x＝2或x＝－2.当x＝2时，易知A(2，3)，B(2，－3)，所以|OA→＋OB→|＝22，|AB→|＝23.此时，|OA→＋OB→|≠|AB→|.当x＝－2时，同理可知，|OA→＋OB→|≠|AB→|.②若直线l不垂直于x轴，设l的方程为y＝kx＋m.由y＝kx＋m，x2－y23＝1，得(3－k2)x2－2kmx－m2－3＝0.当l与C1相交于A，B两点时，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两个实根，从而x1＋x2＝2km3－k2，x1x2＝m2＋3k2－3.于是y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝3k2－3m2k2－3.课件园由y＝kx＋m，y23＋x22＝1，得(2k2＋3)x2＋4kmx＋2m2－6＝0.因为直线l与C2只有一个公共点，所以上述方程的判别式Δ＝16k2m2－8(2k2＋3)(m2－3)＝0.化简，得2k2＝m2－3，因此OA→·OB→＝x1x2＋y1y2＝m2＋3k2－3＋3k2－3m2k2－3＝－k2－3k2－3≠0，于是OA→2＋OB→2＋2OA→·OB→≠OA→2＋OB→2－2OA→·OB→，即|OA→＋OB→|2≠|OA→－OB→|2，故|OA→＋OB→|≠|AB→|.综合①，②可知，不存在符合题设条件的直线.