2016考研数学复习之幂级数

12016考研数学复习之幂级数来源：文都教育级数部分在考研数学当中应用比较广的是第二部分-幂级数。幂级数和前面讲过的泰勒公式一样，看似复杂，其实就是很简单的运算问题。根据以往考研真题来看，每年几乎都会出关于幂级数的题目，所以这一部分在本章中是重点。下面，文都数学老师将幂级数这一部分的知识点总结如下。幂级数1．概念和性质定义1：形如00()nnnaxx的函数项级数，称为0xx的幂级数，其中na为常数．当00x时，000()nnnnnnaxxax，称为x的幂级数．定义2：设任意幂级数00()nnnaxx在(,)ab内收敛，在(,)ab外发散（,xaxb发散与否不考虑），则称2baR为其收敛半径．有三种类型：（1）0R时，收敛域仅为一点；（2）R时，收敛域为(,)；（3）R某一定常数时，收敛域为一有限区间．（四则运算性质）设幂级数1()nnnfxax和1()nnngxbx，收敛半径分别为12,RR，12min{,}RRR，则(,)xRR有：（1）111()()()nnnnnnnnnnaxbxabxfxgx，且在(,)RR内绝对收敛；（2）0110110()()()()()nnnnnnnnnnnaxbxabababxfxgx；（3）设00b，则在0x的足够小的领域内2010101()()nnnnnnaaxaxfxccxcxgxbbxbx，利用多项式除法得系数．2．收敛半径和收敛域设有幂级数0nnnax，1lim||nnnaa或lim||nnna，则0,1,0,0RA．收敛域的求法：（1）先求收敛半径R，确定收敛区间为(,)RR；（2）代入xR，验证00,()nnnnnnaRaR的收敛性．注：幂级数隔项时，需将通项看做一个整体，利用正项级数的比值判别法或根值判别法求收敛域，例如幂级数20nnnax和210nnnax．3．函数的幂级数展开泰勒级数：设()fx在0xx的某一领域内具有任意阶导数，级数()()00000000()()()()'()()+()!!nnnnnfxfxxxfxfxxxxxnn称为()fx在0xx的泰勒级数．当00x时，级数()0(0)!nnnfxn为麦克劳林级数．定理：设()fx在0xx的某一领域内具有任意阶导数，则泰勒级数()000()()!nnnfxxxn收敛于()fx的充要条件是lim()0nnRx，其中(1)1000[()]()()(1)!nnnfxxxRxxxn，其中01．常用函数的展开式：3（1）20111nnnxxxxx，11x．（2）2011(1)(1)1nnnnnxxxxx，11x．（3）2012!!!nnxnxxxexnn，x．（4）321210sin(1)(1)3!(21)!(21)!nnnnnxxxxxnn，x．（5）2220cos1(1)(1)2!(2)!(2)!nnnnnxxxxnn，x．（6）23111ln(1)(1)(1)23nnnnnxxxxxxnn，11x．（7）2(1)(1)(1)(1)12!!anaaaaanxaxxxn，11x，注：端点1,1xx是否收敛随a而定，但该式在(1,1)内总有意义．4．和函数设幂级数0nnnax的收敛半径为R，则在(,)RR内有：（1）0nnnax的和函数()fx是连续的；（2）0nnnax可逐项求导，且1001'()()'()',(,)nnnnnnnnnfxaxaxnaxxRR；（3）0nnnax可逐项积分，且41000000()(),(,)1xxxnnnnnnnnnafxdxaxdxaxdxxxRRn．注：原和函数与逐项求导或积分后的和函数收敛半径相同，收敛域不一定相同．求幂级数和函数的步骤：（1）求出收敛域；（2）通过逐项积分或求导将给定的幂级数化为常见函数展开式的形式（或易看出其假设和函数()sx与其导数'()sx的关系），从而得到新级数的和函数；（3）对于得到的和函数作相反的分析运算，便得原幂级数的和函数．利用和函数求数项级数的和：阿贝尔法（构造幂级数法）100limnnnxnnaax，其中幂级数0nnnax可通过逐项求导或积分求得和函数()sx，因此10lim()nxnasx．以上是文都数学老师总结的所有2016考研高数当中级数部分的知识点，级数部分知识比较系统，相对也比较好复习，所以，只要同学们好好复习，这一部分的分数，在考试当中一般不会丢失，希望以上内容对大家有所帮助。