4-3泰勒展示

二、麦克劳林公式一、泰勒公式§4.3泰勒公式上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页一、泰勒公式•问题的提出根据函数的微分,有f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+o(x-x0)(当|x-x0|很小时),略掉o(x-x0),得到求f(x)的近似公式f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)(当|x-x0|很小时),其误差为R(x)=f(x)-f(x0)-f(x0)(x-x0).近似公式的不足:精确度不高,误差难于估计.为了达到一定的精确度要求,可考虑用n次多项式Pn(x)来近似表达f(x).下页上页下页铃结束返回首页设函数f(x)在含x0的开区间内具有直到(n+1)阶导数,我们希望找出一个关于(x-x0)的n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2++an(x-x0)n来近似表达f(x).我们自然希望Pn(x)与f(x)在x0的各阶导数(直到(n+1)阶导数)相等:f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),f(x0)=Pn(x0),,f(n)(x0)=Pn(n)(x0).•多项式Pn(x)的确定下页上页下页铃结束返回首页Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2++an(x-x0)n,Pn(x)=a1+2a2(x-x0)++nan(x-x0)n-1,Pn(x)=2a2+32a3(x-x0)++n(n-1)an(x-x0)n-2,Pn(x)=3!a3+432a4(x-x0)++n(n-1)(n-2)an(x-x0)n-3,Pn(n)(x)=n!an.•多项式系数的确定=a0,a0=f(x0),=a1,a1=f(x0),=2!a2,=3!a3,,f(x0)=Pn(x0)f(x0)=Pn(x0)f(x0)=Pn(x0)f(x0)=Pn(x0)f(n)(x0)=Pn(n)(x0)=n!an.,)(!2102xfa=,)(!3103xfa=,)(!10)(xfnann=.下页上页下页铃结束返回首页Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)2++an(x-x0)n于是所求多项式为)(!10)(xfkakk=(k=0,1,2,,n).=f(x0)+f(x0)(x-x0)(x-x0)2)(!210xf+)(!10)(xfnn++(x-x0)n.下页•多项式系数的确定上页下页铃结束返回首页泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则对任一x(a,b),有展开式称为f(x)按(x-x0)的幂展开的n阶泰勒公式,而Rn(x)的表达式称为拉格朗日型余项.200000))((!21))(()()(xxxfxxxfxfxf-+-+=+)())((!100)(xRxxxfnnnn+-+,其中10)1()()!1()()(++-+=nnnxxnfxR(介于x0与x之间).其中(介于x0与x之间).下页上页下页铃结束返回首页如果在区间(a,b)内,对于某个固定的n,|f(n+1)(x)|总不超过一个常数M,则有估计式:可见,当xx0时,误差|Rn(x)|是比(x-x0)n高阶的无穷小,即Rn(x)=o[(x-x0)n].•误差估计及0)(lim0)(0=-nxnxxxxR.1010)1(||)!1(|)()!1()(||)(|+++-+-+=nnnnxxnMxxnfxR,1010)1(||)!1(|)()!1()(||)(|+++-+-+=nnnnxxnMxxnfxR,下页上页下页铃结束返回首页Rn(x)=o[(x-x0)n].在不需要精确表达余项时,n阶泰勒公式也可写成200000))((!21))(()()(xxxfxxxfxfxf-+-+=+])[())((!1000)(nnnxxoxxxfn-+-+.首页如果在区间(a,b)内,对于某个固定的n,|f(n+1)(x)|总不超过一个常数M,则有估计式:•误差估计1010)1(||)!1(|)()!1()(||)(|+++-+-+=nnnnxxnMxxnfxR,1010)1(||)!1(|)()!1()(||)(|+++-+-+=nnnnxxnMxxnfxR,存在。只要求展式，余项的余项。带有称为)(TaylorPeanoPeano])[(0)(xfxxonnn-上页下页铃结束返回首页泰勒中值定理如果函数f(x)在含有x0的某个开区间(a,b)内具有直到(n+1)的阶导数,则对任一x(a,b),有200000))((!21))(()()(xxxfxxxfxfxf-+-+=+)())((!100)(xRxxxfnnnn+-+,下页则有且令),(),,(),(00txttx==)).(())()())(((!1))()())(((!21))()())((())(())((00)(200''00'0tRtttfntttftttftftfnnn+-++-+-+=上页下页铃结束返回首页二、麦克劳林公式麦克劳林公式当x0=0时,泰勒公式及其余项将变成什么形式？200000))((!21))(()()(xxxfxxxfxfxf-+-+=+)())((!100)(xRxxxfnnnn+-+,10)1()()!1()()(++-+=nnnxxnfxR下页提问：上页下页铃结束返回首页当x0=0时,泰勒公式称为麦克劳林公式:•近似公式其中1)1()!1()()(+++=nnnxnfxR.)(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn+++++=,或)(!)0(!2)0()0()0()()(2nnnxoxnfxfxffxf+++++=,nnxnfxfxffxf!)0(!2)0()0()0()()(2++++.下页二、麦克劳林公式麦克劳林公式上页下页铃结束返回首页例1写出函数f(x)=ex的n阶麦克劳林公式.解因为f(x)=f(x)=f(x)==f(n)(x)=ex,所以f(0)=f(0)=f(0)==f(n)(0)=1,)(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn+++++=,于是12)!1(!1!211+++++++=nxnxxnexnxxe(0),并有nxxnxxe!1!2112++++.当x=1时,可得e的近似式:!1!2111nex++++.下页?)(2xexf=上页下页铃结束返回首页ex的在x=0处的Taylor逼近上页下页铃结束返回首页例2求f(x)=sinx的n阶麦克劳林公式.解因为f(x)=-cosx,f(x)=-sinx,f(x)=cosx,f(0)=0,f(0)=1,f(0)=0,f(0)=-1,f(4)(0)=0,,)(!)0(!2)0()0()0()()(2xRxnfxfxffxfnnn+++++=,xxfsin)()4(=,,)2sin()()(+=nxxfn,于是)()!12()1(!51!31sin212153xRxmxxxxmmm+--+++-=--.下页上页下页铃结束返回首页当m=1、2、3时,函数曲线的比较:00.511.522.533.5321012sin()xx.16x3x.16x3.1120x5x.16x3.1120x5.15040x7x3!31sinxxx-，53!51!31sinxxxx+-。sinxx，结束上页下页铃结束返回首页)(1)1(3121)1ln(132xRxnxxxxnnn+-+-+-=+-)(!)1()1(!2)1(1)1(2xRxnnxxxnn++--++-++=+例上页下页铃结束返回首页xxxxx30sincossinlim-求极限3030cossinlimsincossinlimxxxxxxxxxx-=-解：)(3cossin)(!2cos),(!3sin333333xoxxxxxoxxxxxoxxx+=-+-=+-=31)(3limcossinlim333030=+=-xxoxxxxxxx例上页下页铃结束返回首页xxxxx20sinsin1tan1lim+-+3020)sin1tan1()sin1()tan1(limsinsin1tan1limxxxxxxxxxxx++++-+=+-+解：300sintanlim)sin1tan1(1limxxxxxxx-+++=41)](61[)](31[lim21353530=+--++=xxOxxxOxxx例上页下页铃结束返回首页20111sinlimxxexx----),(sin),(211),(211)1(1222222/122xoxxxoxxexoxxxx+=+++=+-=-=-解：.1)(2/)(2/lim))(211(11))(()(211lim111sinlim2222022222020=++=+---+-+++=----xoxxoxxoxxoxxoxxxxexxxx例上页下页铃结束返回首页)122(lim23xxxxx++-++)111221(lim)122(lim223++-+=++-+++xxxxxxxxx解：)1(18121111),1(12111212222xoxxxxoxxx+-+=++-+=+41))1(41(lim222-=+-=+xoxxx原式例上页下页铃结束返回首页)]1ln([coslim2202xxxexxx-+--),()2(!21)2(!111422222xoxxex+-+-+=-),(21)1ln(),(!41!211cos22442xoxxxxoxxx+--=-++-=解：.61)(21)(121lim44440=+-+-=xoxxoxx原式例上页下页铃结束返回首页.21|)(|,1|)(|,)10(),1()0(,]1,0[)('''=xfxfxffxf求证：时，并且上二阶导数连续在已知.,,)(2)())(()()(]1,0[)1,0(2'''之间位于，有和任意的解：对任意固定的xtxtfxtxfxftftx-+-+=例上页下页铃结束返回首页.,1,)1(2)()1)(()()1(,1222'''之间位于有令xxfxxfxfft-+-+==.,0,)0(2)()0)(()()0(,0121'''之间位于有令xxfxxfxfft-+-+==.)1(2)(2)()(22''21'''xfxfxf--=两式相减，有上页下页铃结束返回首页.212)1(2|)1(2)(2)(||)(|2222''21'''-+--=xxxfxfxf去绝对值，有上页下页铃结束返回首页22)1(ln)1)(1()1,0(xxxx++，证明：设例),1(ln)1()(2xxxf++=证明：令),1ln(2)1(ln)(2'xxxf+++=,11)1ln(2)(''xxxf+++=.2)0(,0)0(,0)0('''===fff显然，上页下页铃结束返回首页,0)1()1ln(2)(2)3(++-=xxxf.)(,06)(.10,6)()(,6)(2)0()0()0()(023)3(3)3(23)3(2'''xxfxfxfxxfxfxfxffxfTaylorx+=+++==所以由于展开：处作在