21.2直角坐标下二重积分的计算

《数学分析》下册第二十一章二重积分1§2直角坐标下二重积分的计算教学目的掌握直角坐标下二重积分的计算公式．教学内容二重积分化为累次积分；累次积分的积分次序的交换．(1)基本要求：掌握二重积分化为累次积分的方法和累次积分的积分次序的交换公式．(2)较高要求：掌握二重积分化为累次积分公式的证明．教学建议(1)要求学生必须熟练掌握直角坐标下二重积分的计算公式．(2)对较好学生要求掌握二重积分化为累次积分公式的证明．教学程序定理21.8设yxf,在矩形区域D：dcba,,上可积，且对每个xba,，积分dcdyyxf,存在，则累次积分badxdcdyyxf,也存在，且Ddyxf,=badxdcdyyxf,.(1)证明令xF＝dcdyyxf,，定理要求证明xF在ba,上可积，且积分结果恰为二重积分．为此，对区间ba,与dc,分别作分割，,dyyycs10.按这些分点作两组直线,1,2,,1.ixxir及kyy1,,1sk它把矩形分为rs个小矩形，记ik为小矩形kkiiyyxx,,11skri,,1,,,1；设yxf,在ik上的上确界和下确界分别为ikM和ikm．在区间iixx,1中任取一点ik，于是就有不等式bxxxar10《数学分析》下册第二十一章二重积分2kikyyikikyMdyyfymkk1,，其中1kkkyyy．因此ikskikFym1dcidyyf,kskikyM1，ri1riiiikskikxFxym11dcidyyf,ri1kskikyM1ix，(2)其中1iiixxx．记ik的对角线长度为ikd和ikkidT,max,由于二重积分存在．由定理21.4，当0T时，ikkiikxym,和kkiikyM,ix有相同的极限，且极限值等于Ddyxf,．因此当0T时由不等式（２）可得：riiiTxF10lim=Ddyxf,，(3)由于当0T时，必有0max1irix，因此由定积分定义，（３）式左边riiiTxF10lim=badxxF=badxdcdyyxf,.定理21.9设yxf,在矩形区域D：dcba,,上可积，且对每个dcy,，积分badxyxf,存在，则累次积分也存在，且Ddyxf,=dcdyuadxyxf,.定理219的证明与定理21．8相仿．特别当yxf,在矩形区域D：dcba,,上连续时，则有Ddyxf,=badxdcdyyxf,=dcdyuadxyxf,.例1计算Ddyx2其中1,01,0D.《数学分析》下册第二十一章二重积分3解Ddyx2=10dx102dyyx=103333dxxyx=67.一般区域x型区域：bxaxyyxyyxD,,21，y型区域：dycyxxyxyxD,,21，一般区域：分割为若干个无公共内点的x型区域或y型区域的并．定理21.10若函数yxf,在x型区域：bxaxyyxyyxD,,21上连续其中xy1，xy2，在ba,上连续，则《数学分析》下册第二十一章二重积分4Ddyxf,=badxxyxcydyyxf21,.即二重积分可化为先对y，后对x的累次积分．证明`由于xy1，xy2，在闭区间ba,上连续，故总存在形区域dcba,,D，定义在dcba,,上的函数yxF,=DyxDyxyxf,,0,,,，则yxF,在dcba,,上可积，而且，Ddyxf,=dcbadyxF,,,=badxdcdyyxF,=badxxyxcydyyxF21,=badxxyxcydyyxf21,.类似地有：若函数yxf,在y型区域y型区域：dycyxxyxyxD,,21上连续其中yx1，yx2，在dc,上连续，即二重积分可化为先对x，后对y的累次积分．则Ddyxf,=dcdyyxyxdxyxf21,.例2设D是由直线,0x1y及xy围成的区域，试计算二重积分I=Dydex22的值解：若化为先对y，后对x的累次积分，则I=Dydex22=10122xydyedxx，由于被积函数的原函数不能用初等函数表示，故改为化作先对x，后对y的累次积分I=Dydex22=10022yydxxdye=103231dyeyy=e3161.《数学分析》下册第二十一章二重积分5例3计算二重积分Dd，其中D是由直线,2xyyx2及3yx围成的三角形区域解：Dd1Dd+2Dd=10122xxdyxdx+2132xxdydx=1022dxxx+2123dxxx=2312433014322xxx.例4求两个底面半径相同的直交圆柱所围立体的体积V解设这两个直交圆柱面的方程为：222ayx，222azx，由图形的对称性V=8Ddxa22=8axadyxadx002222=8adxxa022=3316a.作业P223:1;2;3;4.