21函数及其表示学案

12.1函数及其表示考情分析1．主要考查函数的定义域、值域、解析式的求法．2．考查分段函数的简单应用．3．由于函数的基础性强，渗透面广，所以会与其他知识结合考查．基础知识1．函数的基本概念1.符号:fAB表示集合A到集合B的一个映射，它有以下特点：(1)对应法则有方向性,:fAB与:fBA不同;(2)集合A中任何一个元素,在f下在集合B中都有唯一的元素与对应;(3)象不一定有原象,象集C与B间关系是CB.2.函数是特殊的映射,它特殊在要求集合A和B都是非空数集.函数三要素是指定义域、值域、对应法则.同一函数必须满足:定义域相同、对应法则相同.3.分段函数是指函数由n个不同部分组成,但是一个函数.4.函数解析式求法:(1)已知函数类型,可设参,用待定系数法；（2）已知复合函数[(()]fgx的表达式，求()fx可用换元法；（3）配凑法与方程组法.注意事项1.求复合函数y＝f(t)，t＝q(x)的定义域的方法：①若y＝f(t)的定义域为(a，b)，则解不等式得a＜q(x)＜b即可求出y＝f(q(x))的定义域；②若y＝f(g(x))的定义域为(a，b)，则求出g(x)的值域即为f(t)的定义域．2.。(1)解决函数问题，必须优先考虑函数的定义域．(2)用换元法解题时，应注意换元前后的等价性．3.。函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．值域是由函数的定义域和对应关系所确定的．两个函数的定义域和对应关系完全一致时，则认为两个函数相等．函数是特殊的映射，映射f：A→B的三要素是两个集合A、B和对应关系f.典型例题题型一求函数的定义域【例1】►求下列函数的定义域：(1)f(x)＝|x－2|－1)log2x－1；(2)f(x)＝lnx＋1\r(－x2－3x＋4).解(1)要使函数f(x)有意义，必须且只须|x－2|－1≥0，x－10，x－1≠1.解不等式组得x≥3，因此函数f(x)的定义域为[3，＋∞)．(2)要使函数有意义，必须且只须x＋10，－x2－3x＋40，)即x－1x＋4x－10，)解得：－1x1.因此f(x)的定义域为(－1,1)．【变式1】下列函数中,与函数1yx有相同定义域的是()A.2()logfxxB.1()fxxC.()||fxxD.()2xfx【答案】A的定义域为(0,)，与原题相同；而选项B中的x可以为负数，选项C、D的定义域都为R，故选A.2题型二求函数的解析式【例2】(1)已知f\a\vs4\al\co1(\f(2x)＋1)＝lgx，求f(x)；(2)定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．解(1)令t＝2x＋1，则x＝2t－1，∴f(t)＝lg2t－1，即f(x)＝lg2x－1.(2)x∈(－1,1)时，有2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．①以－x代x得，2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②由①②消去f(－x)得f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)，x∈(－1,1)．【变式2】(1)已知f(x)是二次函数，若f(0)＝0，且f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，试求f(x)的表达式．(2)已知f(x)＋2f(1x)＝2x＋1，求f(x)．解(1)由题意可设f(x)＝ax2＋bx(a≠0)，则a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1∴2a＋b＝b＋1，a＋b＝1，)解得a＝12，b＝12.因此f(x)＝12x2＋12x.(2)由已知得fx＋2f\b\lc\(\rc\x))\rc\2x)＋1，消去f\a\vs4\al\co1(\f(1x))，得f(x)＝4＋x－2x23x.题型三分段函数【例3】设函数f(x)＝21－x，x≤1，1－log2x，x＞1，)则满足f(x)≤2的x的取值范围是()．A．[－1,2]B．[0,2]C．[1，＋∞)D．[0，＋∞)解析f(x)≤2⇔x≤1，21－x≤2)或x＞1，1－log2x≤2)⇔0≤x≤1或x＞1，故选D.答案D【变式3】已知实数a≠0，函数f(x)＝2x＋a，x＜1，－x－2a，x≥1.)若f(1－a)＝f(1＋a)，则a的值为________．解析分类讨论：(1)当a＞0时，1－a＜1,1＋a＞1.这时f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝－1－3a.由f(1－a)＝f(1＋a)，得2－a＝－1－3a，解得a＝－32，不符合题意，舍去．(2)当a＜0时，1－a＞1,1＋a＜1，这时f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋a)＝2(1＋a)＋a＝2＋3a，由f(1－a)＝f(1＋a)，得－1－a＝2＋3a，解得a＝－34.综合(1)，(2)知a的值为－34.答案－34重难点突破【例1】►求函数y＝log13(x2－3x)的单调区间．错解忽视函数的定义域，把函数y＝log13t的定义域误认为R导致出错．实录设t＝x2－3x.∵函数t的对称轴为直线x＝32，故t在\a\vs4\al\co1(－∞，\f(32))上单调递减，在\a\vs4\al\co1(\f(32)，＋∞)上单调递增．∴函数y＝log13(x2－3x)的单调递增区间是\a\vs4\al\co1(－∞，\f(32))，单调递减区间是\a\vs4\al\co1(\f(32)，＋∞).正解设t＝x2－3x，由t＞0，得x＜0或x＞3，即函数的定义域为(－∞，0)∪(3，＋∞)．函数t的对称轴为直线x＝32，故t在(－∞，0)上单调递减，在\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，＋∞)上单调递增．而函数y＝log13t为单调递减函数，由复合函数的单调性可知，函数y＝log13(x2－3x)的单调递增区间是(－∞，0)，单调递减区间是(3，＋∞)．【例2】求函数f(x)＝log2(x2－2x－3)的单调区间．3[尝试解答]由x2－2x－3＞0，得x＜－1或x＞3，即函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．令t＝x2－2x－3，则其对称轴为x＝1，故t在(－∞，－1)上是减函数，在(3，＋∞)上是增函数．又y＝log2t为单调增函数．故函数y＝log2(x2－2x－3)的单调增区间为(3，＋∞)，单调减区间为(－∞，－1)．巩固提高1．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为()．A．(0，＋∞)B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)D．[1，＋∞)解析∵3x＋1＞1，∴f(x)＝log2(3x＋1)＞log21＝0.答案A2．若f(x)＝1log\f(12)2x＋1，则f(x)的定义域为()．A.\a\vs4\al\co1(－\f(12)，0)B.\a\vs4\al\co1(－\f(12)，0)C.\a\vs4\al\co1(－\f(12)，＋∞)D．(0，＋∞)解析由log12(2x＋1)＞0，即0＜2x＋1＜1，解得－12＜x＜0.答案A3．下列各对函数中，表示同一函数的是()．A．f(x)＝lgx2，g(x)＝2lgxB．f(x)＝lgx＋1x－1，g(x)＝lg(x＋1)－lg(x－1)C．f(u)＝1＋u1－u)，g(v)＝1＋v1－v)D．f(x)＝(x)2，g(x)＝x2答案C4．某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y＝[x]([x]表示不大于x的最大整数)可以表示为()．A．y＝\f(x10))B．y＝\f(x＋310))C．y＝\f(x＋410))D．y＝\f(x＋510))解析根据规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于6时再增选一名代表，即余数分别为7、8、9时可增选一名代表．因此利用取整函数可表示为y＝\f(x＋310)).故选B.答案B5．函数y＝f(x)的图象如图所示．那么，f(x)的定义域是________；值域是________；其中只与x的一个值对应的y值的范围是________．4解析任作直线x＝a，当a不在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)图象没有交点；当a在函数y＝f(x)定义域内时，直线x＝a与函数y＝f(x)的图象有且只有一个交点．任作直线y＝b，当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象有交点，则b在函数y＝f(x)的值域内；当直线y＝b与函数y＝f(x)的图象没有交点，则b不在函数y＝f(x)的值域内．答案[－3,0]∪[2,3][1,5][1,2)∪(4,5]