22东北师大附属中学高三第一轮复习导学案--解三角形A

东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B1图二abcCBA图一cabABC解三角形(教案)一、知识梳理：1、直角三角形各元素之间的关系:如图1,在Rt∆ABC中，C=900，BC=a，AC=b，Ab=c。（1）、三边之间的关系：a2+b2=c2；（勾股定理）（2）、锐角之间的关系：A+B=900（3）、边角之间的关系：（锐角三角函数的定义）：sinA=cosB=acsinB=cosA=bc,tanA=1tanB=ab2、斜三角形各元素之间的关系：如图2，在∆ABC中，A、B、C为其内角，a、b、c分别表示A、B、C的对边。（1）、三角形内角之间的关系：A+B+C=π；sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC;tan(A+B)=-tanCsinA+B2=cosC2；cosA+B2=sinC2；（2）、三边之间的关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；（3）、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦值的比相等；即asinA=bsinB=csinC=2R(2R为外接圆的直径)正弦定理变形：a=2RsinA；b=2RsinB；c=2RsinCsinA=a2R；sinB=b2R；sinC=c2R；a：b：c=sinA：sinB：sinCa+b+csinA+sinB+sinC=2R(2R为外接圆的直径)（4）、余弦定理：a2=b2+c2-2bccosA;b2=a2+c2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;余弦定理变形：cosA=b2+c2−a22bc;cosB=a2+c2−b22ac;cosC=a2+b2−c22ab3、三角形的面积公式：（1）、S∆ABC=12aha=12bhb=12chc（ha，hb，hc分别表示a，b，c三边上的高）（2）、S∆ABC=12absinC=12bcsinA=12casinB（3）、S∆ABC=2R2sinAsinBsinC=abc4R(2R为外接圆的直径)（4）、S∆ABC=√s(s−a)(s−b)（s−c）；(s=12（a+b+c）)东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B2（5）、S∆ABC=rs（r为内切圆半径，s=12（a+b+c））4、解三角形：由三角形的六个元素（即三个内角和三条边）中的三个元素（其中至少有一个是边）求其它未知元素的问题叫做解三角形，这里所说的元素还可以包括三角形的高、中线、角平分线、内切圆半径、外接圆半径、面积等等，解三角形问题一般可以分为下面两个情形：若给出是直角三角形，则称为解直角三角形；若给出的三角形为斜三角形，则称为解斜三角形。5、实际问题中的应用。（1）、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标线在水平线上方的角叫做仰角，目标线在水平线下方的角叫俯角。（2）、方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的角。（3）、坡度角：坡面与水平面所成的二面角的度数。（4）、距离、角度的测量测量距离问题；测量高度问题；测量角度问题。图四东西南北图三俯角仰角铅垂线视线视线水平线东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B3二、题型探究探究一：利用正余弦定理解三角形例1:在∆ABC中，已知a=2√3，c=√6+√2，B=450，求b及A。例2:在∆ABC中，已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，已知a，b，c成等比数列，且a2-c2=ac-bc，求A及bsinBc探究二:求三角形的面积例3：已知a、b、c分别表示A、B、C的对边，A，B，C成等差数列，，cosA=45，b=√3（1）、求sinC的值（2）、求∆ABC的面积。DCBAHGEDEBA小河流小河流CABCDBA东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B4例4：已知∆ABC三个内角成等差数列，其外接圆的半径为1，且有sinA-sinC+√22cos（A-C）=√22（1）、求A，B，C大小；（2）、求∆ABC的面积。例5：已知∆ABC三个内角A，B，C成等差数列，三边a、b、c成等比数列，证明：∆ABC为正三角形。探究三：判断三角形的形状例5：在∆ABC中，已知asinA=bsinB，试判断三角形的形状；例6：在∆ABC中，已知acosA=bcosB，试判断三角形的形状；例7：在∆ABC中，已知acosB=bcosA，试判断三角形的形状；探究四：正余定理的实际应用已知后勤保障队位于沙漠考察队北偏东30处，两队相距80km.上午6点，后勤队驾越野车以15km/h的速度向沙漠考察队方向行进，但此时，沙漠考察队却以3km/h的速度徒步向正东方向开始考察.两支队伍均配备用于联络的步话机，步话机的联络半径是10km,且两队都打开步话机并随时呼叫对方．（1）求两队出发t小时后它们之间的距离f(t)；（2）在两队行进过程中，是否可以通过步话机建立联络？请说明理由．解：设沙漠考察队出发位置为A，t小时位于点Q，后勤队t小时位于P点.则条件：知∠PAQ=60，AP=80–15t,AQ=3t,∴|PQ|2=(80–15t)2+(3t)2–2(80–15t)(3t)cos60=279t2–2640t+6400.东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B5∴f(t)=6400t2640t2792.(t0)(2)∵f(t)=6400t2640t2792=314800)93440t(2792314800313100=10.∴两队联络不上.另解：由279t2–2640t+6400100得279t2–2640t+63000，即93t2–880t+21000∴△=8802–4932100=–6800.无解，故两队在行进中不能联络上.三、方法提升：（1）、解斜三角形的常规思维方法：已知两角和一边，可先用正弦定理解；已知两边和夹角，先用余弦定理，之后再用正弦定理；已知两边及一边所对的角，应用正弦定理，再由正弦定理或余弦定理求解，这种情况要结合图形讨论解的情况；已知三边，用余弦定理。（2）、三角形的内切圆半径R=2S∆ABCa+b+c，特别地，R直=a+b−c斜2（3）、三角形中中射影定理（4）、两内角与正弦关系：在∆ABC中，AB⇔sinAsinB,……（5）、三角形中的重要结论：tanAtanBtanC=tanA+tanB+tanC(斜三角形)（6）、锐角三角形中，sinA+sinB+sinCcosA+cosB+cosC;tanAtanBtanC1四、反思感悟五、课时作业正弦、余弦定理的应用(时间90分钟，满分150分)姓名：得分:一、选择题（每小题6分，共60分）东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B61在△ABC中，“30A”是“21sinA”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2△ABC中，∠A，∠B的对边分别为a,b，且∠A=60°，4,6ba，那么满足条件的△ABC（）A．有一个解B．有两个解C．无解D．不能确定3在三角形ABC中,如果BAcossin,那么这个三角形是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．直角三角形或钝角三角形4已知ABC△中，2a，3b，60B，那么角A等于（）A．135B．90C．45D．305ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且2ca，则cosBA．14B．34C．24D．236在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，A=3,a=3,b=1，则c=()A1B2C3—1D37在ABC中，AB=3，AC=2，BC=10，则ABAC()A．23B．32C．32D．238在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a2+c2-b23ac,则角B的值为（）A.6B.3C.6或56D.3或239设A是△ABC中的最小角，且11cosaaA，则实数a的取值范围是（）A．a≥3B．a＞－1C．－1＜a≤3D．a＞0东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B710在△ABC中，若三个内角A，B，C成等差数列且ABC，则coscosAC的取值范围是（）A．11(,]24B．31[,]44C．11(,)24D．31(,)44题号12345678910答案二、填空题（本大题共4小题，每题6分，共24分）11在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，已知3,3,30,abC则A＝12在△ABC中,若B=300，AB=23，AC=2，则△ABC的面积S是13△ABC的内角ABC，，的对边分别为abc，，，若，则14在△ABC中，已知AB=l，∠C=50°，当∠B=时，BC的长取得最大值.三、解答题（15、16、17题每题16分，18题18分，共66分）15已知ABC△的周长为21，且sinsin2sinABC．（I）求边AB的长；（II）若ABC△的面积为1sin6C，求角C的度数．CaAcbcoscos3Acos东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B816在ABC△中，角ABC，，的对边分别为tan37abcC，，，．（1）求cosC；（2）若52CBCA，且9ab，求c.17在ABC△中，内角ABC，，对边的边长分别是abc，，，已知2c，3C．（Ⅰ）若ABC△的面积等于3，求ab，；（Ⅱ）若sin2sinBA，求ABC△的面积东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B9正余弦定理的应用参考答案题号12345678910答案BCDCBBDAAC11612233或131440°15解：（I）由题意得21ABBCAC，2BCACAB，两式相减，得1AB．（II）由ABC△的面积11sinsin26BCACCC，得13BCAC，222cos2ACBCABCACBC22()2122ACBCACBCABACBC，60C．16解：（1）sintan3737cosCCC，，又22sincos1CC解得1cos8C．tan0C，C是锐角．1cos8C．（2）52CBCA，5cos2abC，20ab．又9ab22281aabb．2241ab．2222cos36cababC．6c17解：（Ⅰ）由余弦定理得，224abab，又1sin32abC，得4ab．（Ⅱ）已知条件化为2ba，联立方程组2242ababba，，解得233a，433b．所以ABC△的面积123sin23SabC．33东北师大附中2012-2013高三数学(文理)第一轮复习导学案021B10