4chap2动力学普遍方程和拉格朗日方程(II).

3.动能的广义速度表达式质点系的动能iniiiniiiiniiirrmvvmvmT1112212121拉格朗日方程是关于广义坐标的二阶微分方程组。应用拉格朗日方程时,须先计算出以广义坐标和广义速度表示的系统的动能。为便于应用拉格朗日方程,一般可将质点系的动能表示为广义速度的代数齐次式结构的形式。由于r是广义坐标及时间的函数,所以akj,bk,c也是广义坐标及时间的函数。111111112122nNNiiiiikjikjkjnNNNiiiiiiikjkikjkkjkrrrrTmqqqtqtrrrrrrmqqqqqqttt令11112niikjiikjniikiikniiiirramqqrrbmqtrrcmtt于是,动能T可表示为再设cTqbTqqaTkNkkjNkNjkkj01111221012TTTT可见,T2是广义速度的二次齐次式,T1是广义速度的一次齐次式，T0是广义速度的零次齐次式。这样,质点系的动能T可看成是由以上三种不同次的广义速度的代数齐次式构成.4.拉格朗日方程的初积分(首次积分）求解二阶微分方程组的积分时常会遇到数学上的困难,但对于保守系统,在某些条件下,却很容易求得其初积分,使方程组的求解变得简单起来.现在,我们在上一节阐明的动能的广义坐标表达式的基础上,来讨论拉格朗日方程的初积分。由于势能函数V仅是广义坐标和时间的函数，因此它是广义速度的零次函数。设L2=T2，L1=T1，L0=T0-V拉格朗日函数可表示为L=T–V=T2+T1+T0–V显然，L2，L1和L0分别是广义速度的二次齐次函数、一次齐次函数和零次齐次函数，得L=L2+L1+L01．广义能量积分—初积分之一将主动力为有势力时的拉格朗日方程式乘以，并将这N个式子相加，得kq011kNkkkkNkqqLqqLdtdkkkkkkqqLqqLdtdqqLdtd其中011NkkkkkNkkkqqLqqLqqLdtd带入上式得：当拉格朗日函数不显含时间t（则），即时有：0tLkkqqLL,NkkkkkqqLqqLdtdL1带入上式得：01NkkkLqqLdtdELqqLNkkk1从而有：E为积分常数再根据欧拉齐次式定理(P56)有：1210111212LLqqLqqLqqLqqLNkkkNkkkNkkkNkkk带入上式得：（2L2+L1）-（L2+L1+L0）=E即L2-L0=EEVTTLqqLNkkk021进一步得到：这一结果称为以拉格朗日变量表示的广义能量积分，又称雅可比积分。*由于约束是非定常的，系统的机械能并不守恒。*NkkkLqqL1为广义能量系统称为广义保守系统。2．能量积分如果约束是定常的，则0irt可知bk=0,c=0,因此得T1=0，T0=0，于是得T=T2广义能量积分变为EVTLqqLNkkk1这一结果称为以拉格朗日变量表示的能量积分，上式即为保守系统的机械能守恒定律表示式。这就是能量积分的物理意义。3．循环积分——初积分之二拉格朗日函数一般是广义坐标、广义速度和时间的函数。若L中不显含与某一广义速度对应的广义坐标，则该坐标称为循环坐标，或称可遗坐标。0jqL即：0jqLdtd则：jjCqL所以：其中Cj为积分常数。上式称为循环积分，或称可遗积分。当然，系统有几个循环坐标就有几个循环积分。jjjjCpqTqL由于L=T-V，而且势能V中不显含广义速度，因此其中称为广义动量.jp5.碰撞问题的拉各朗日方程由拉格朗日方程式来推导碰撞问题的拉各朗日方程以dt乘上式,并对碰撞时间△t积分,即其中左边第一项表示在碰撞时间内广义动量发生的变化.左边第二项是动能相对广义坐标的改变量,是有限量.设它在碰撞时间内的最大值为M,根据中值定理由于碰撞时间极短,所以与第一项相比可以略去.jjjQqTqTdtdtjtjjtdtQdtqTqTd000)(00)(jtjjtqTqTqTdtMdtqTdtqTtjtj00为广义力Qj在碰撞时间内的广义冲量,以表示,即则即碰撞过程中,广义动量的增量等于相应的广义冲量.tjdtQ0jQˆtjjdtQQ0ˆtjjtjdtQqTqT00jjtjQpp06.拉格朗日方程的应用举例**应用拉格朗日方程解题的步骤：1.确定系统的自由度数（广义坐标数）；2.选取广义坐标；3.计算系统的动能T，且用广义速度来表示动能；4.计算广义力（对保守系统可计算势能）；5.代入拉格朗日方程即可得质点系运动微分方程。6.求解运动微分方程，得到用广义坐标表示的系统的运动规律。本章结束！作业（P79）：2-1,2-3,2-6,2-10,2-16,2-25,2-28,2-36