2第二节极限的概念(第一次)

1郑州铁路职业技术学院教师教案序号：2授课班级授课日期出勤情况课程名称高等数学教学类型理论讲授复习旧课要点复习几个基本初等函数的图象（5分钟)新课内容及要点第二节极限的概念（第一次）一．0xx时)(xf的极限二．x时)(xf的极限授课目的理解并掌握0xx时)(xf的极限与x时)(xf的极限会利用图象用观察法求极限重点与难点重点：两种类型极限的定义.难点：左、右极限的理解课后作业习题1-23、5（1，3，4）郑州铁路职业技术学院教师教案第1页第二节极限的概念（第一次）一．0xx时)(xf的极限1．瞬时速度引例：旋停在地震灾区上空50m高处的直升飞机上丢下一包救灾物品，忽略空气阻力，记开始下落的时刻为0t．试考察在下落的第3秒末这一时刻物品的速度．分析过程略，经分析可得到gttgtstststvtttt33921lim3)3()(limlim)(lim23333（m/s）．我们就定义这个极限值g3为第3秒末物品下落的速度，即这一时刻的瞬时速度．2．0xx时)(xf的极限首先说明邻域的概念．设为正实数，称区间),(00xx为点0x的邻域，点0x称为邻域中心，称为邻域半径；把),(),(0000xxxx称为点0x的去心邻域．设0x是一个定值，x从0x的两侧以任何方式趋近于0x，但始终不等于0x，用“0xx”表示，读作“x趋向于0x”．定义1设函数)(xfy在点0x的某个邻域内有定义（在0x可以没有定义），如果当0xx时，)(xf无限趋近于一个常数L，那么就说L是当x趋向于0x时函数)(xf的极限，记作Lxfxx)(lim0或Lxf)(（0xx）．说明：当极限存在时，极限是唯一的．例1考察函数24)(2xxxf当2x时的极限．解因为当2x时，2242xxx，所以函数242xxy的图象就是函数2xy（2x）的图象，如图1-4所示．从图中可以看出，当2x时)(xf有极限，且郑州铁路职业技术学院教师教案第2页424lim22xxx．从常值函数Cy和函数xy的图象可以看出：CCxx0lim（C为常数）；00limxxxx．当函数)(xfy是基本初等函数时，由函数图象容易知道，若0x是)(xf定义区间内部的点（端点除外），则有)()(lim00xfxfxx，即极限值等于函数值．例如，00sinsinlim0xx，10coscoslim0xx，93lim223xx等等．3．左、右极限x仅从0x的左侧，即小于0x的一侧无限趋近于0x，记作0xx；x仅从0x的右侧，即大于0x的一侧无限趋近于0x，记作0xx．定义2设函数)(xfy，如果当0xx时，)(xf无限趋近于一个常数L，那么就说L是当x趋向于0x时函数)(xf的左极限，记作Lxfxx)(lim0，或Lxf)(0；如果当0xx时，)(xf无限趋近于一个常数L，那么就说L是当x趋向于0x时函数)(xf的右极限，记作Lxfxx)(lim0，或Lxf)(0．由定义1和定义2就得到极限存在的一个充分必要条件：Lxfxx)(lim0的充要条件是)(0xfLxf)(0．例2设函数,1,1,1,1)(xxxxf考察)(lim1xfx是否存在．解作出)(xfy的图象，如图1-7所示（图略）．在1x左侧附近1)(xf，所以郑州铁路职业技术学院教师教案第3页1)1(lim)(lim11xxxf；在1x右侧附近1)(xxf，所以0)1(lim)(lim11xxfxx．左、右极限都存在但不相等，由上面的充要条件可知，)(lim1xfx不存在．练习：1.求下列极限：⑴112xxlim1x（2）xlim0x1（3）arctgxlim0x2.讨论函数1121)(2xxxxxf在1x处的极限.3．讨论函数0012xxxxy在0x处的极限45分二．x时)(xf的极限x无限增大，记作x，读作“x趋向于正无穷大”；x无限减小，记作x，读作“x趋向于负无穷大”；||x无限增大，记作x，读作“x趋向于无穷大”．1．x时)(xf的极限引例：设火箭所要达到的最大高度为h，那么发射火箭所需要的初速度为RhgRhhfv2)(，),0(h，其中g是重力加速度，R是地球半径．现在来考察当h时，函数)(hfv的变化趋势．2001122lim)(limgRRhgRhhfhh（m/s）．其中g取8.92m/s，R取为6104.6m．这个极限值就是第二宇宙速度．定义3设函数)(xfy，如果当x时，)(xf无限趋近于一个常数L，那么就说L是当x趋向于正无穷大时函数)(xf的极限，记作郑州铁路职业技术学院教师教案第4页Lxfx)(lim，或Lxf)(（x）．例如，01limxx（见图1-9），01lim2xx（见图1-10）．一般地，如果q是一个正有理数，那么有01limqxx．又如，观察指数函数的图象可以看出，当10a时，有0limxxa．类似地，如果当x时，)(xf无限趋近于一个常数L，那么就说L是当x趋向于负无穷大时函数)(xf的极限，记作Lxfx)(lim，或Lxf)(（x）．例如，01limxx（如图1-9所示）．定义4设函数)(xfy，如果Lxfx)(lim，且Lxfx)(lim，那么就说常数L是当x趋向于无穷大时函数)(xf的极限，记作Lxfx)(lim，或Lxf)(（x）．由此可知：Lxfx)(lim的充要条件是Lxfx)(lim且Lxfx)(lim．由01lim1limxxxx和定义4，可知01limxx．容易知道，CCxlim，C为常数．例3考察xxarctanlim是否存在．解由图象可以看出2arctanlimxx，2arctanlimxx．xxarctanlim和xxarctanlim虽然都存在，但不相等，所以xxarctanlim不存在．课后小结与布置作业45分