3.1变化率与导数(教学设计)

13.1变化率与导数（教学设计）（2）3．1．2导数的概念教学目标：1、知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法：①通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。②通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.教学重点、难点重点：导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位：m）与起跳后的时间t（单位：s）存在函数关系h（t）=－4.9t2＋6.5t＋10.计算运动员在65049t这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0”，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？二、师生互动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当Δt取不同值时,尝试计算(2)(2)hthtv的值？2学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当Δt趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？ΔtvΔtv-0.1-12.610.1-13.59-0.01-13.0510.01-13.149-0.001-13.09510.001-13.1049-0.0001-130099510.0001-13.10049-0.00001-13.0999510.00001-13.100049……….….…….…让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2时刻,Δt趋于0时，平均速度趋于一个确定的值-13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim13.1ththt问题四：运动员在某个时刻0t的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t的瞬时速度如何表示?学生意识到将0t代替2,可类比得到000()()limthtthtt（1）气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()()limvrvvrvv（2）如果将这两个变化率问题中的函数用()fx来表示，那么函数()fx在0xx处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率是:0000()()limlimxxfxxfxfxx我们称它为函数()yfx在0xx出的导数，记作'0()fx或0'|xxy，即0000()()()limxfxxfxfxx说明：（1）导数即为函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率3（2）0xxx，当0x时，0xx，所以0000()()()limxfxfxfxxx例1：求函数y=3x2在x=1处的导数.分析：先求Δf=Δy=f(１＋Δx)-f(１)=6Δx+(Δx)2再求6fxx再求0lim6xfx解：222211113313(1)|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx例2：求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数．解：xxxxxy32)1()1(2200(1)(1)2(1)limlim(3)3xxyxxfxxx例3（课本P75例1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第xh时候，原油温度（单位：c）为y=2()715(08)fxxxx（1）计算第2h和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。（2）计算第3h和第5h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。步骤：①启发学生根据导数定义，再分别求出(2)f和(6)f②既然我们得到了第2h和第6h的原油温度的瞬时变化率分别为-3与5，大家能说明它的含义吗？③大家是否能用同样方法来解决问题二？③师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是'(2)f和'(6)f根据导数定义，0(2)()fxfxfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx同理可得:(6)5f在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5，说明在2h附近，原油温度大约以3/Ch4的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升．注：一般地，'0()fx反映了原油温度在时刻0x附近的变化情况．备注：（1）函数f(x)在x=x0处的导数即为函数y=f(x)在x=x0年的瞬时变化率；（2）瞬时变化率是平均变化率的极限；（3）x=x-x0，当x0时，xx0，所以0000()()()limxfxxfxfxx（4）由定义知：求f(x)在x0年的导数的步骤为：1）求增量：y=f(x+x)-f(x)2)算比值：()()yfxxfxxx3）求极限：y’=0limxyx例4、求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2xxf，2x（2）12)(xxf，2x（3）3)(xf，2x分析：根据导数的定义。解：（1）因为：xxfxxfxyoo)()(=xxxfxf121)2()2()2(22=222xxxx所以f’(2)=2)2(lim0xx（2）因为：xxfxxfxyoo)()(=xfxf)2()2(=xx1221)2(2=2所以：f’(2)=22lim0x（3）因为：xxfxxfxyoo)()(=xfxf)2()2(=033x所以：f’(2)=00lim0x让学生对导数的概念有进一步的理解，此概念较抽象，学生要熟练掌握它较难，因为通过这例子能使学生更好地理解导数的概念。5三、课堂小结、巩固反思：1、瞬时速度的概念2、导数的概念3、思想方法：“以已知探求未知”、逼近、类比、从特殊到一般四、布置作业：A组：1、（课本P79习题3.1A组NO：2）2、（课本P79习题3.1A组NO：3）3、（课本P79习题3.1A组NO：4）B组：1、（课本P79习题3.1B组NO：1）2、若2)1()(xxf，求)2('f和((2))'f解：1）因为：xxfxxfxyoo)()(xxxfxf22)12()12()2()2(=xxxx222所以：f’(2)=2)2(lim0xx2）因为f(2)=1