3.1常微分方程课后答案

习题3.11求方程dxdy=x+y2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0x200200121)()(xxdxdxyxyxxx522200210220121])21([])([)(xxdxxxdxxxyxxxdxxxxyxx])20121([)(252003=1185244001160120121xxxx2求方程dxdy=x-y2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0x则200200121)()(xxdxdxyxyxxx522200210220121])21([])([)(xxdxxxdxxxyxxxdxxxxyxx])20121([)(252003=1185244001160120121xxxx3题求初值问题：0)1(2yxdxdyR：1x1，y1的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为M=max{22yx}=4则h=min(a,Mb)=41则解的存在区间为0xx=)1(x=1x41令)(0X=0;)(1x=y0+xxx0)0(2dx=31x3+31;)(2x=y0+])3131([2132xxxdx=31x3-9x-184x-637x+4211又yyxf),(2=L则：误差估计为：)()(2xx322)12(*hLM=24114题讨论方程：3123ydxdy在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为yyxf),(=3221y在y0上存在且连续；而3123y在y0上连续由3123ydxdy有：y=（x+c）23又因为y(0)=0所以：y=x23另外y=0也是方程的解；故方程的解为：y=00023xxx或y=0;6题证明格朗瓦耳不等式：设K为非负整数，f(t)和g(t)为区间t上的连续非负函数，且满足不等式：f(t)k+tdssgsf)()(,t则有：f(t)kexp(tdssg)(),t证明：令R（t）=tdssgsf)()(,则R'(T)=f(t)g(t)R'(T)-R(t)g(t)=f(t)g(t)-R(t)g(t)kg(t)R'(T)-R(t)g(t)kg(t);两边同乘以exp(-tdssg)()则有：R'(T)exp(-tdssg)()-R(t)g(t)exp(-tdssg)()kg(t)exp(-tdssg)()两边从到t积分：R(t)exp(-tdssg)()-tdsskg)(exp(-tdrrg)()ds即R(t)tdsskg)(exp(-tsdrrg)()ds又f(t)1k+R(t)k+ktsg)(exp(-tsdrrg)()dsk(1-1+exp(-tsdrrg)()=kexp(stdrrg)()即f(t)ktdrrg)(;7题假设函数f(x,y)于（x0,y0）的领域内是y的不增函数，试证方程dxdy=f(x,y)满足条件y(x0)=y0的解于xx0一侧最多只有一个解；证明：假设满足条件y(x0)=y0的解于xx0一侧有两个(x),(x)则满足：(x)=y0+xxxxf0))(,(dx(x)=y0+xxxxf0))(,(dx不妨假设(x)(x)，则(x)-(x)0而(x)-(x)=xxxxf0))(,(dx-xxxxf0))(,(dx=xxxxfxxf0))(,())(,([dx又因为f(x,y)在（x0,y0）的领域内是y的增函数，则：f(x,(x))-f(x,(x))0则(x)-(x)=xxxxfxxf0))(,())(,([dx0则(x)-(x)0所以(x)-(x)=0，即(x)=(x)则原命题方程满足条件y(x0)=y0的解于xx0一侧最多只有一个解；