3.2.3指数函数与对数函数的关系教案

1/33.2.3指数函数与对数函数的关系【学习要求】1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系;2.掌握对数函数与指数函数互为反函数.【学法指导】通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程.填一填：知识要点、记下疑难点1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量.我们称这两个函数互为反函数.即y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示.2.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称.3.互为反函数的图象关于直线y＝x对称;互为反函数的图象同增同减.4.当a1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y＝ax随着x的增加,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y＝logax增长的速度逐渐变得很缓慢.研一研：问题探究、课堂更高效[问题情境]设a为大于0且不为1的常数,对于等式at＝s,若以t为自变量可得指数函数y＝ax,若以s为自变量可得对数函数y＝logax.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题.探究点一指数函数与对数函数的关系导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y＝2x及y＝log2x的图象.问题1函数y＝2x及y＝log2x的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？答：函数y＝2x的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y＝log2x的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y＝2x的定义域和值域分别是函数y＝log2x的值域和定义域.问题2在列表画函数y＝2x的图象时,当x分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y值分别是什么？答：y值分别是:18,14,12,1,2,4,8.问题3在列表画函数y＝log2x的图象时,当x分别取18,14,12,1,2,4,8时,对应的y值分别是什么？答：y值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3.问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？答：在列表画y＝log2x的图象时,可以把y＝2x的对应值表里的x和y的数值对换,就得到y＝log2x的对应值表.问题5观察画出的函数y＝2x及y＝log2x的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？答：函数y＝2x与y＝log2x的图象关于直线y＝x对称.问题6我们说函数y＝2x与y＝log2x互为反函数,它们的图象关于直线y＝x对称,那么对于一般的指数函数y＝ax与对数函数y＝logax又如何？答：对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.探究点二互为反函数的概念问题1对数函数y＝logax与指数函数y＝ax是一一映射吗？为什么？答：是一一映射,因为对数函数y＝logax与指数函数y＝ax都是单调函数,所以不同的x值总有不同的y值与之对应,不同的y值也总有不同的x值与之对应.问题2对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y＝f(x)的反函数通常用y＝f－1(x)表示.问题3如何求函数y＝5x(x∈R)的反函数？答：把y作为自变量,x作为y的函数,则x＝y5,y∈R.通常自变量用x表示,函数用y表示,则反函数为y＝x5,x∈R.例1写出下列函数的反函数:(1)y＝lgx;(2)y＝log13x;(3)y＝23x.解：(1)y＝lgx(x0)的底数为10,它的反函数为指数函数y＝10x(x∈R).(2)y＝log13x(x0)的底数为13,它的反函数为指数函数y＝13x(x∈R).(3)y＝23x(x∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y＝log23x(x0).小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤:(1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域;(2)从y＝f(x)中解出x;(3)x、y互换并注明反函数的定义域.跟踪训练1求下列函数的反函数:(1)y＝3x－1;(2)y＝x3＋1(x∈R);(3)y＝x＋1(x≥0);(4)y＝2x＋3x－1(x∈R,x≠1).2/3解：(1)由y＝3x－1,得x＝13(y＋1),即所求反函数为y＝13(x＋1);(2)函数y＝x3＋1的值域为R,x3＝y－1,x＝3y－1,所以反函数为y＝3x－1(x∈R);(3)函数y＝x＋1(x≥0)的值域为y≥1,由x＝y－1,得x＝(y－1)2,所以反函数为y＝(x－1)2(x≥1).(4)因y＝2x＋3x－1＝2x－2＋5x－1＝2＋5x－1,所以y≠2,由5x－1＝y－2,得x＝1＋5y－2＝y＋3y－2,所以反函数为y＝x＋3x－2(x≠2).例2已知函数f(x)＝ax－k的图象过点(1,3),其反函数y＝f－1(x)的图象过(2,0)点,则f(x)的表达式为_______f(x)＝2x＋1_________.解析：∵y＝f－1(x)的图象过点(2,0),∴y＝f(x)的图象过点(0,2).∴2＝a0－k,∴k＝－1.∴f(x)＝ax＋1.又∵y＝f(x)的图象过点(1,3),∴3＝a1＋1,∴a＝2.∴f(x)＝2x＋1.小结：由互为反函数的图象关于直线y＝x对称可知:若点(a,b)在y＝f(x)的图象上,则点(b,a)必在y＝f－1(x)的图象上.跟踪训练2函数y＝loga(x－1)(a0且a≠1)的反函数的图象经过点(1,4),求a的值.解:根据反函数的概念,知函数y＝loga(x－1)(a0且a≠1)的图象经过点(4,1),∴1＝loga3,∴a＝3.探究点三指数函数与对数函数的增长差异问题1观察函数y＝2x与y＝log2x的图象,指出两个函数的增长有怎样的差异？答:根据图象,可以看到,在区间[1,＋∞)内,指数函数y＝2x随着x的增长,函数值的增长速度逐渐加快,而对数函数y＝log2x的增长的速度逐渐变得很缓慢.问题2你能列表对底数大于1的指数函数与对数函数从多个方面分析它们的差异吗？答y＝ax(a1)y＝logax(a1)图象定义域R(0,＋∞)值域(0,＋∞)R性质当x0时,y1;当x0时,0y1;当x＝0时,y＝1;在R上是增函数.当x1时,y0;当0x1时,y0;当x＝1时,y＝0;在(0,＋∞)上是增函数.练一练：当堂检测、目标达成落实处1.函数y＝21－x＋3(x∈R)的反函数的解析表达式为()A.y＝log22x－3B.y＝log2x－32C.y＝log23－x2D.y＝log223－x解析:∵y＝21－x＋3(x∈R),∴21－x＝y－3,∴1－x＝log2(y－3),即x＝1－log2(y－3)＝log22y－3.∴y＝log22x－3.故选A.2.设函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x),若g1a－1＝14,则a等于()A.－2B.－12C.12D.2解析:因函数f(x)＝log2x的反函数为y＝g(x),所以g(x)＝2x,由g1a－1＝14,得21a－1＝2－2,即1a－1＝－2,所以a＝12.3.设a0,a≠1,函数f(x)＝ax,g(x)＝bx的反函数分别是f－1(x)和g－1(x).若lga＋lgb＝0,则f－1(x)和g－1(x)的图象(A)A.关于x轴对称B.关于y轴对称C.关于原点对称D.关于y＝x对称解析:由lga＋lgb＝0,得a＝1b,所以函数f(x)＝ax与g(x)＝bx的图象关于y轴对称,它们的反函数的图象关于x轴对称.课堂小结：1.对数函数y＝logax与指数函数y＝ax互为反函数.它们的图象关于直线y＝x对称.2.求给定解析式的函数的反函数应本着以下步骤完成:(1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域;(2)从y＝f(x)中解出x;(3)x、y互换并注明反函数定义域.3.反函数的定义域是原函数的值域,并不一定是使反函数有意义的所有x的集合.薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈芈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆袃莈蒃蚂袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蚁羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇肁芀蚁薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿羁膂莈蚅袇膁蒀蒈螃膀膀蚃虿腿节蒆羈芈莄蚁袄芈蒆蒄螀芇膆蚀蚆袃莈蒃蚂袂蒁螈羀袁膀薁袆袁芃螆螂袀莅蕿蚈衿蒇莂羇羈膇薇袃羇艿莀蝿羆蒂薆螅羅膁蒈蚁羅芄蚄罿羄莆蒇袅羃蒈蚂螁羂膈蒅蚇肁芀蚁薃肀莂蒃袂肀肂虿袈聿芄薂螄肈莇螇蚀肇葿薀罿肆腿莃袅肅芁薈螁膄莃莁蚇膄肃薇薃膃芅荿螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅莃蚈肅肅薈薄蚂膇莁蒀蚁艿薇蝿螀罿荿蚅蝿肁薅薁螈膄莈薇螈莆膀袆螇肆蒆螁螆膈艿蚇螅芀蒄薃螄羀芇葿袃肂蒃螈袂膄芅蚄袂芇蒁蚀袁肆芄薆袀腿蕿蒂衿芁莂螁袈羁薇蚇袇肃莀薃羆膅薆葿羆芈荿螇羅羇膁螃羄膀莇虿羃节芀薅羂羂蒅蒁羁肄芈螀羀膆蒃蚆肀芈芆薂聿羈蒂蒈肈肀芅袆肇芃薀螂肆莅