4补充关于矩阵的知识.

主要内容问题的引入秩亏自由网平差的原理广义逆的补充知识秩亏自由网平差的解法秩亏自由网平差解的性质补充一：六种常用的矩阵迭代法解方程组；高斯消去法；矩阵的三角分解（LU）：任一非奇异矩阵可分解为：A=LU，其中一个是单位三角矩阵一、三角形矩阵LUfactorization.[L,U]=LU(A)storesanuppertriangularmatrixinUandapsychologicallylowertriangularmatrix(i.e.aproductoflowertriangularandpermutationmatrices)inL,sothatA=L*U.Acanberectangular.[L,U,P]=LU(A)returnsunitlowertriangularmatrixL,uppertriangularmatrixU,andpermutationmatrixPsothatP*A=L*U.补充一：六种常用的矩阵一定是方阵特征值均为实数特征向量正交其逆也对称二、对称矩阵DQPBBNNccPBBNbbAAPNaaTaaTT、、11三、正定矩阵与非负定矩阵性质：四、正交矩阵0)det(,0)4(0,0,)3(,)2(G)1(2AAAxxxRxABBBGATnT的所有主子式、有、、列满秩，、满秩对称阵定义：特征值全部为正（或非负）的实对称矩阵定义：设n×n阶方阵A，每行每列元素的平方和为1，每两列相应相应元素的积之和为0。也是正交阵、是正交阵，、、、正交阵未必是对称阵也是正交阵是正交阵，、、、、非奇异，且BA)4()3()2(1)det()1(1-ABBAAAAIAAAATTTcossinsincosA五、幂等矩阵六、初等矩阵AAA2，满足定义：方阵是方阵，分为三类：nmmBRARCRCBAIBArnAIRrARAIAIAtrARnnmmnnm.)()()(,5)(,)(4)(3)()(21012且为幂等则）设（则）设（）（）（即）特征值非性质：（加某一行倍数与另一行相某一行的倍数行交换单位阵其逆为同类型初等阵初等阵非奇异性质补充二：矩阵的六类数字特征一、秩（rank）定义：有一个k阶子式不为零，所有的k+1阶子式都为零))()(dim()()();()()(5)(,)(,)(4)()(3))(),...(),(min()...(2)()()()(12121TTnttmmmTTTBRARBRARBARBRARBARtABRtBRtARARQARQARARARAAARARAARAARAR）（则）（为满秩方阵，则）（）（）性质：（Matlab命令：rank（A）.RANK(A)providesanestimateofthenumberoflinearlyindependentrowsorcolumnsofamatrixA.二、行列式（determinant))det()det()det()det()det()det(,2),det()det()det(12112212112222121112122111122211211AAAAAAAAAAAAAAAAAAABABAABnn可逆，当可逆，当）（为同阶方阵、）性质：（思考1：如何证明？Matlab命令：det（A）.DET(X)isthedeterminantofthesquarematrixX.UseCONDinsteadofDETtotestformatrixsingularity.三、迹（trace))()(1BAtrABtr）性质：（思考2：niiiaAtrA1)(，定义：方阵?MSE,)(,)(,22122221112211,1,）（求已知：XXDXEXnnnnnnnMatlab命令：trace（A）TRACE(A)isthesumofthediagonalelementsofA,whichisalsothesumoftheeigenvaluesofA.四、范数（Norm)范数、无穷范数、分类：二范数、一范数P，相容性（四个条件）矩阵：等式负性、齐次性、三角不向量：（三个条件）非......Formatrices...NORM(X)isthe2-normofX.NORM(X,2)isthesameasNORM(X).NORM(X,1)isthe1-normofX.NORM(X,inf)istheinfinitynormofX.NORM(X,'fro')istheFrobeniusnormofX.NORM(X,P)isavailableformatrixXonlyifPis1,2,infor'fro'.Forvectors...NORM(V,P)=sum(abs(V).^P)^(1/P).NORM(V)=norm(V,2).NORM(V,inf)=max(abs(V)).NORM(V,-inf)=min(abs(V)).五、特征值（Eigenvalue)；特征向量（Eigenvector）xAxA，定义：方阵思考3：特征值与特征向量在求误差椭圆中的应用EIGEigenvaluesandeigenvectors.E=EIG(X)isavectorcontainingtheeigenvaluesofasquarematrixX.[V,D]=EIG(X)producesadiagonalmatrixDofeigenvaluesandafullmatrixVwhosecolumnsarethecorrespondingeigenvectorssothatX*V=V*D.六、奇异值（Singularvalue)的奇异值为，，，称设，个特征值为记其其特征值为非负，为对称阵，的矩阵，则为定义：设AnmknAAnmAnnT2,122221),,min(思考4：奇异值分解（SVD）与方程求解！SVDSingularvaluedecomposition.[U,S,V]=SVD(X)producesadiagonalmatrixS,ofthesamedimensionasXandwithnonnegativediagonalelementsindecreasingorder,andunitarymatricesUandVsothatX=U*S*V'.思考4：奇异值分解（SVD）与方程求解！121ˆˆˆ110011101321321XXXVVVU=-0.7071-0.40820.57740.7071-0.40820.5774-0.00000.81650.5774S=1.73210001.73210000.0000V=-0.8165-0.0000-0.57740.4082-0.7071-0.57740.40820.7071-0.5774（1）[U,S,V]=SVD(A)（2）Sp=pinv（S）Sp=0.57740000.57740000（3）X=(V*Sp*U')*b'X=-0.33331.0000-0.6667补充三：广义逆矩阵一、满秩长方阵的逆1、列满秩的逆：AmnTTLAAAA11IAAL1PAPAAATTL11-------左逆左逆不唯一：一般式：2、行满秩的逆：Amn11TTRAAAAIAAR111TTRAQAQAA-------右逆右逆不唯一：一般式：一、满秩长方阵的逆3、满秩长方阵逆的性质：1111111111)2()1(LRTRLTTTAAAAAAAAAAAA为行满秩，为列满秩，4、奇异单位矩阵：AAAAAAAARL110为行满秩，为列满秩，0AIAAL1注意与定义式的区别：IAAR1核心是矩阵的维数与奇异性二、广义逆(Generalinverse)1）降秩法A1、定义AmnAAAA满足A总存在，但不唯一右逆、左逆、凯莱逆均是广义逆（特殊逆）),min()(nmrAR2、广义逆的求法22211211))*(()*())*((*AAAArmrnrrnrmrnrrA000111AA1）满秩分解法2、广义逆的求法mrrnmnCBA*nrLrmRBCA11思考5：两种解法如何证明？上机实验：广义逆的解法满秩分解法的步骤rARAAArmnrnmn)(,211)*(**其中①1AB②令TTLBBBB11③求ABCL1④求11TTRCCCC⑤求nrLrmRBCA11⑥得3、广义逆的性质的广义逆也是的广义逆，则，为是幂等阵，且）（），（）（正定，）若（）（的常数，）设（其中之一）（AAGAAGARAARAAARARAAPAAPAAAPAAPAAAPAAAAAAAAAAAAAkAkAATTTTTTTTTTTTTTTTT)7()(6mnmin)()(5)(;)(4)(;)(31)k(02)()(1-三、伪逆(pseudoinverse)A1、定义AmnGAGAAGAGGGAGAAGATT)()4()()3()2()1(、、、、满足GA是唯一的),min()(nmrARMoore(1920年)和Penrose(1955年)提出！1）特殊的伪逆2、伪逆的计算1AnnaaaA2211例1：1LA1RA2）当A为对角阵时nnaaaA22110100iiiiiiiiaaaa当当402A25.005.0A3）一般矩阵的伪逆TTTTAAAAAAAA)()(4）当N为对称方阵GA是唯一的)(TAA)(AAT不唯一，但和NNNNNNNN)()(5）设AANTTANATAINA10)(lim11LRBCA6）设满秩分解,)()()(,,rCRBRARCBArmnrmn例2：101110011A211121112AANT633363336NN00002101291)(NN21112111291)()(NNNNNNNN11001110131TANAQROrthogonal-triangulardecomposition.[Q,R]=QR(A),whereAism-by-n,producesanm-by-nuppertriangularmatrixRandanm-by-munitarymatrixQsothatA=Q*R.3、伪逆的性质)()(3)(,,)()(2)(1ARARAAAAAAAATTTT）（则若）（）（PINVPseudoinverse.X=PINV(A)producesamatrixXofthesamedimensionsasA'sothatA*X*A=A,X*A*X=XandA*XandX*AareHermitian.ThecomputationisbasedonSVD(A)andanysingularvalueslessthanatolerancearetreatedaszero.Thedefaulttolera