5-例题与习题

第五章相似矩阵和二次型要点和公式1向量的内积[定义]n维向量nnbbbaaa2121,βα的内积为αββαβαTT,nnbababa2211向量内积的性质（设,,是n维向量，k为实数）①αββα,,②,,βαβαkk③γβγαγβα,,,④0],[αα，等号成立当且仅当0α.],[],[,2ββααβα(Cauchy-Schwarz不等式)2向量的长度[定义]n维向量naaa21α的长度(范数)为22221],[nTaaaααααα向量长度的性质①0α，等号成立当且仅当0α②ααkk③βαβα(三角不等式)3正交向量非零向量βα,正交的充要条件是：0],[βα零向量与任何向量正交非零正交向量组是线性无关的齐次线性方程组Ax=O的解集(解空间)是由与A的行向量都正交的全部向量构成的集合一组两两正交的单位向量rααα,,,21称为正交单位向量组，即,0,1jijiji若若，αα若正交单位向量组rααα,,,21是向量空间的基，则称之为规范正交基。4正交矩阵[定义]若A为方阵，且EAAT(或EAAT，或TAA1)，则称A为正交矩阵.正交矩阵的性质：若A,B是正交矩阵，则①)(1TAA也是正交矩阵；②AB也是正交矩阵；③1A或－1n阶方阵A是正交矩阵的充要条件：A的n个列向量(或行向量)是一个正交单位向量组(即Rn的一个规范正交基).4矩阵的特征值和特征向量[定义]设A是方阵，若Ax=x(其中是数，x是非零向量)，则称数是A的特征值，非零向量x是A的对应于(或属于)特征值的特征向量.凡是使得0EA的值都是矩阵A的特征值；A的属于特征值0的全体特征向量是OxEA)(0的解集合中除零向量外的全体解向量，其最大无关组含有)(0EARn个线性无关的特征向量.n阶对角阵或上(下)三角阵的特征值就是其n个主对角元.设n阶方阵A的全部特征值为n,,,21，则①)(tr21An[tr(A)是A的n个主对角元之和，称为A的迹]②An21若21,ξξ都是A的属于特征值0的特征向量，则2211ξξkk(其中k1,k2为任意常数，但Oξξ2211kk)也是A的属于特征值0的特征向量.设0是方阵A的一个特征值，ξ是对应于特征值0的特征向量，则，①k0是kA的一个特征值；②m0是mA的一个特征值；③)(0是)(A的一个特征值；[其中，0111)(cxcxcxcxkkkk是关于变量x的k次多项式，EAAAA0111)(cccckkkk]④若A可逆，则10是1A的一个特征值.并且ξ仍是以上各矩阵分别属于k0,m0,)(0,10的特征向量.A和AT有特征值相同(特征多项式相同)，但特征向量不一定相同。如果0是n阶方阵A的一个k重特征值，则kn-R(A-0E)，即，k属于0的线性无关的特征向量的最大个数.方阵A的属于不同特征值的特征向量是线性无关的.设A有m个不同的特征值:m,,,21，属于i的线性无关的特征向量有ri个(i=1,2,…,m)，则所有这些向量(共mrrr21个)构成的向量组是线性无关的.5相似矩阵[定义]若P-1AP=B(其中P是可逆矩阵)，则称A和B相似.矩阵的相似关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性若存在可逆矩阵P，使得P-1AP=B(即A和B相似)，则①P-1(kA)P=kB(即kA和kB相似)②P-1AmP=Bm(即Am和Bm相似)；③P-1(A)P=(B)[即(A)和(B)相似]④若A可逆，则B也可逆，且P-1A-1P=B-1(即A-1和B-1相似)相似矩阵有相同的特征值，但特征向量不一定相同。若A和B相似，则①R(A)=R(B)；②BA6矩阵可对角化的条件矩阵A可对角化是指：存在可逆矩阵P，使得A和对角阵Λ相似，即P-1AP=n阶方阵A可对角化的条件：①A有n个线性无关的特征向量(充分必要条件)；②每个特征值的重数=对应于该特征值的线性无关的特征向量的最大个数(充分必要条件)；③n阶方阵A有n个互异的特征值(充分条件)；④n阶方阵A是实对称矩阵(充分条件).若n阶方阵A可对角化(P-1AP=)，则对角阵),,,(11ndiagΛ的主对角元就是A的n个特征值；可逆阵P的n个列向量是对应于各特征值的线性无关的特征向量.7实对称矩阵实对称矩阵的特征值都是实数.实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量相互正交.对于n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得),,,(111nTdiagΛAQQAQQ其中对角阵),,,(11ndiagΛ的主对角元就是A的n个特征值；正交阵Q的n个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量.8合同矩阵[定义]若BACCT(其中C是可逆矩阵)，则称A和B合同.矩阵的合同关系也是一种等价关系，具有反身性、对称性、传递性.若矩阵A和B合同，则)()(BARR.9化二次型为标准形[定义]n元二次型是n元二次齐次多项式ninjjiijnxaxxxf1121),,,(x(双重连加号表示法，其中aij=aji)AxxT[矩阵表示法，其中Tnxxx),,(11x，nnija)(A是n阶实对称矩阵]化二次型为标准形是指：寻找可逆的线性变换x=Cy(C为n阶可逆矩阵)，使一般的n元二次型成为纯平方项之和：2222211)(nnTTTydydydyACCyAxx或者说，对n阶实对称矩阵A，寻找可逆矩阵C，使得CTAC成为对角阵：CTAC=diag(d1,d2,…,dn).对于任一n元二次型AxxTnxxxf),,,(21，存在正交变换x=Qy(Q为n阶正交矩阵)，使得2222211)(nnTTTyyyyAQQyAxx或者说，对任一n阶实对称矩阵A，存在正交阵Q，使得),,(21nTdiagAQQ其中对角阵),,,(11ndiagΛ的主对角元就是A的n个特征值；正交阵Q的n个列向量是对应于各特征值的正交单位特征向量.对于任一n元二次型AxxTnxxxf),,,(21，存在可逆的线性变换x=Cy(C为n阶可逆矩阵)，使得2222211)(nnTTTydydydyACCyAxx或者说，对任一n阶实对称矩阵A，存在可逆阵C，使得),,(21nTddddiagACC(注：用不同的可逆线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的)10惯性定理惯性定理：对于一个二次型，不论作怎样的可逆线性变换使之化为标准形，其中正平方项的项数p(正惯性指数)和负平方项的项数q(负惯性指数)都是唯一的.对于n元二次型xTAx，若正、负惯性指数分别为p和q，则存在可逆的线性变换x=Cy，使得221221)(qpppTTTyyyyyACCyAxx(*)或者说，对任一n阶实对称矩阵A，存在可逆阵C，使得)0,,0,1,,1,1,1()(个个个qpnqpTdiagACC(*)式称为二次型的规范形，即标准形的系数只在1,-1,0三个数中取值.11正定二次型的判定条件[定义]如果对任意的非零向量x，恒有二次型xTAx0，则称xTAx是正定二次型，A是正定矩阵；对于n阶实对称矩阵A，以下命题等价：①xTAx是正定二次型(或A是正定矩阵)；②xTAx的标准形的n个系数全大于零(或A的正惯性指数为n，亦即A合同于E)；③存在可逆矩阵P，使得A=PTP；④A的n个特征值全大于零.⑤A的n个顺序主子式的值全大于零.附：其它的有定二次型[定义]如果对任意的非零向量x，恒有二次型xTAx0，但至少存在一个非零向量x0，使得x0TAx0=0，则称xTAx是半正定二次型，A是半正定矩阵；如果对任意的非零向量x，恒有二次型xTAx0，则称xTAx是负定二次型，A是负定矩阵；如果对任意的非零向量x，恒有二次型xTAx0，但至少存在一个非零向量x0，使得x0TAx0=0，则称xTAx是半负定二次型，A是半负定矩阵.对于n阶实对称矩阵A，以下命题等价：①xTAx是半正定二次型(或A是半正定矩阵)；②A的正惯性指数=R(A)=rn，即A合同于)0,,0,1,1(个个rnrdiag；③存在降秩矩阵P，使得A=PTP；④A的n个特征值0，但至少有一个等于零；⑤A的n个顺序主子式的值0，但至少有一个等于零.对于n阶实对称矩阵A，以下命题等价：①xTAx是负定二次型(或A是负定矩阵)；②xTAx的标准形的n个系数全小于零(或A的负惯性指数为n，亦即A合同于－E)；③存在可逆矩阵P，使得A=－PTP；④A的n个特征值全小于零.⑤A的奇数阶顺序主子式小于零，偶数阶顺序主子式大于零.对于n阶实对称矩阵A，以下命题等价：①xTAx是半负定二次型(或A是负正定矩阵)；②A的负惯性指数=R(A)=rn，即A合同于)0,,0,1,1(个个rnrdiag；③存在降秩矩阵P，使得A=-PTP；④A的n个特征值0，但至少有一个等于零；⑤A的奇数阶顺序主子式0，偶数阶顺序主子式0，但至少有一个等于零.典型题型1向量的内积、长度、正交性⑴内积的运算例1已知=(2,1,3,2)T,=(1,2,-2,1)T，求α,β,],[βα,βα解232312],[2322ααα101)2(21],[2322βββ012)2(32112],[βα723133],[2222βαβαβα[练习1]设=(1,-2,3)T,=(2,-1,0)T，求实数，使得+与正交.[答案]由[+,]=0，得=-4/5例2设1,2,3和1,2是两个线性无关的向量组，且[i,j]=0(i=1,2,3;j=1,2)，证明：1,2,3,1,2线性无关.[分析]根据线性相关性的定义，先设k11+k22+k33+11+22=O，然后利用内积的运算性质证明：其中的k1,k2,k3,1,2必全部为零.证设有一组数k1,k2,k3和1,2，使得k11+k22+k33+11+22=O(*)即，k11+k22+k33=-11-22.由于[i,j]=0(i=1,2,3;j=1,2)，故[k11+k22+k33,k11+k22+k33]=[k11+k22+k33,-11-22]=-k11[1,1]-k12[1,2]-k21[2,1]-k22[2,2]-k31[3,1]-k32[3,2]=0(即，k11+k22+k33与自身的内积为0)于是，k11+k22+k33=O，又因为1,2,3线性无关，所以k1=k2=k3=0.将k1=k2=k3=0代入(*)式，得11+22.=O，因为1,2线性无关，故1=2=0.由于k1=k2=k3=1=2=0，因此1,2,3,1,2线性无关.⑵施密特正交化方法施密特正交化方法是指：将一组线性无关的向量rααα,21，，，作特定的线性运算，构造出与原向量组等价的正交单位向量组.其步骤如下：①将rααα,21，，正交化：取11αβ；1111222,,ββββααβ222231111333,,,,ββββαβββααβ…………………………1111222211