3.4多元线性回归模型的预测

§3.4多元线性回归模型的预测一、E(Y0)的置信区间二、Y0的置信区间对于样本回归函数βXYˆˆ给定样本以外的解释变量的观测值X0=(1,X01,X02,…,X0k)，可以得到被解释变量的预测值：βXˆˆ00Y它可以是总体均值E(Y0)或个值Y0的预测。但严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。为了进行科学预测，还需求出预测值的置信区间，包括E(Y0)和Y0的置信区间。一、E(Y0)的置信区间易知)()ˆ()ˆ()ˆ(00YEEEYEβXβXβX000))ˆˆ()ˆ()ˆ(20ββ()Xββ(XβXβX0000EEYVar0102000)(ˆˆ)ˆˆ()ˆ(XXXXX)ββ)(ββ(XX)ββ)(ββ(X00EEYVar容易证明),(~ˆ020XX)X(XβX100NY)1(~ˆˆknt)E(YY00010XX)X(X于是，得到(1-)的置信水平下E(Y0)的置信区间：010000100)(ˆˆ)()(ˆˆ22XXXXXXXXtYYEtY其中，t/2为(1-)的置信水平下的临界值。二、Y0的置信区间如果已经知道实际的预测值Y0，那么预测误差为：000ˆYYe容易证明0))(())ˆ(()ˆ()(100000000μXXXXββXβXβXEEEeE))(1())(()()(01022100200XXXXμXXXXEeEeVare0服从正态分布，即)))(1(,0(~01020XXXXNe)))(1(ˆˆ010220XXXXe构造t统计量)1(~ˆˆ000kntYYte可得给定(1-)的置信水平下Y0的置信区间：010000100)(1ˆˆ)(1ˆˆ22XXXXXXXXtYYtY^地区城镇居民消费二元模型例中：假设某城镇居民家庭2006年人均可支配收入为20000元，其2005年人均消费支出为14000元，则该家庭2006年人均居民消费支出的预测值为：Ŷ2006=143.3+0.5556×20000+0.250×14000=14757（元）预测的置信区间：(28)=2.048148931.900004.000001.000828.000001.000001.000285.000828.000285.088952.1)(1XX3938.0010XX)X(X于是E(Ŷ2001）的95%的置信区间为:3938.05.705093.28.1776或（14318.2，15196.6）X0(X’X)-1X0’0.30880.4553076-0.0000045-0.0000479-0.00000450.0000000-0.0000001-0.0000479-0.00000010.0000001147572.048148931.90.30883938.15.705093.28.1776或（13853.1,15661.7）同样，易得Ŷ2001的95%的置信区间为147572.048148931.90.3088一点启示：•计量经济学模型用于预测时，必须严格科学地描述预测结果。•如果要求给出一个“准确”的预测值，那么真实值与预测值相同的概率为0。•模型研制者的任务是尽可能地缩小置信区间。如何缩小置信区间？•增大样本容量n•提高模型的拟合优度•提高样本观测值的分散度