35.第三十五讲概率及其基本性质

1第三十五讲概率及其基本性质一、引言本讲内容在高考中所占比重不大，纵观近几年的高考形式对涉及到有关概念的某些计算要求降低，但试题中具有一定的灵活性、机动性．本讲考纲要求为：了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，了解概率的意义，了解频率与概率的区别；了解两个互斥事件的概率加法公式．本计命题方向：对概率考查的重点为互斥事件、古典概型的概率事件的计算，而以实际应用题出现的形式多以选择题、填空题为主．对于理科生来讲，对随机事件的考查结合排列、组合的知识进行考查，多以选择题、填空题形式出现．二、考点梳理1．事件的概念：在一定的条件下所出现的某种结果叫做事件．（1）随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件；（2）必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；（3）不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件．2．随机事件的概率事件A的概率：在大量重复进行同一试验时,事件A发生的频率nm总接近于某个常数，在它附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P（A）．由定义可知0≤P（A）≤1，显然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0．3．事件间的关系（1）互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件（或称互不相容事件）；（2）对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件；（3）包含：事件A发生时事件B一定发生，称事件A包含于事件B（或事件B包含事件A）；4．事件间的运算（1）并事件（和事件）：由事件A和B至少有一个发生（即A发生，或B发生，或A，B都发生）所构成的事件C，称为事件A与B的并（或和），记作C=A∪B．注：当A和B互斥时，事件A+B的概率满足加法公式：P（A+B）=P（A）+P（B）（A、B互斥）；且有P（A+A）=P（A）+P（A）=1．（2）交事件（积事件）：若某事件的发生是事件A发生和事件B同时发生，则此事件称为事件A与事件B的交事件．一般地，如果事件12,,,nAAA相互独立，那么这n事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：1212nnPAAAPAPAPA.三、典型例题选讲题型1：随机事件的定义例1判断下列事件哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件？（1）“抛一石块，下落”；（2）“在标准大气压下且温度低于0℃时，冰融化”；（3）“某人射击一次，中靶”；（4）“如果a＞b,那么a－b＞0”；（5）“掷一枚硬币，出现正面”；（6）“导体通电后，发热”；2（7）“从分别标有号数1，2，3，4，5的5张标签中任取一张，得到4号签”；（8）“某电话机在1分钟内收到2次呼叫”；（9）“没有水分，种子能发芽”；（10）“在常温下，焊锡熔化”．解析：根据定义，事件（1）、（4）、（6）是必然事件；事件（2）、（9）、（10）是不可能事件；事件（3）、（5）、（7）、（8）是随机事件．归纳小结：熟悉必然事件、不可能事件、随机事件的联系与区别，针对不同的问题加以区分．题型2：频率与概率例2某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：种子粒数251070130310700150020003000发芽粒数24960116282639133918062715求其发芽的概率．解：我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别是：1，0.8，0.9，0.57，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905．随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在它附近摆动．故此种子发芽的概率为0.9．归纳小结：利用概率的统计定义，在计算每一个随机事件概率时都要通过大量重复的试验，列出一个表格，从表格中找到某事件出现频率的近似值作为所求概率．这从某种意义上说是很繁琐的，我们可以用频率的趋向近似值表示随机事件发生的概率．例3（1）如果某种彩票中奖的概率为10001，那么买1000张彩票一定能中奖吗？请用概率的意义解释．（2）在一场乒乓球比赛前，裁判员利用抽签器来决定由谁先发球，请用概率的知识解释其公平性．解：（1）不一定能中奖，因为，买1000张彩票相当于做1000次试验，因为每次试验的结果都是随机的，即每张彩票可能中奖也可能不中奖，因此，1000张彩票中可能没有一张中奖，也可能有一张、两张乃至多张中奖．（2）这个规则是公平的，因为抽签上抛后，红圈朝上与绿圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名运动员猜中的概率都是0.5，也就是每个运动员取得先发球权的概率都是0.5．归纳小结：本题考查了对概率概念的理解，要注意频率与概率的区别与联系：①频率本身是随机的，在试验前不能确定．做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同；②概率是一个确定的数，与每次试验无关．是用来度量事件发生可能性大小的量；③频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率．题型3：随机事件间的关系例4（1）某战士在打靶中，连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是（）A．至多有一次中靶B．两次都中靶C．两次都不中靶D．只有一次中靶答案：C．（2）把标号为1，2，3，4的四个小球随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得一个．事件“甲分得1号球”与事件“乙分得1号球”是（）A．互斥但非对立事件B．对立事件C．相互独立事件D．以上都不对答案：A．3（3）（2009上海理）若事件E与F相互独立，且14PEPF，则PEFI的值等于（）A．0B．116C．14D．12PEFI＝()()PEPF1144＝116.答案：B．(4)（2009湖北文）甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是_____，三人中至少有一人达标的概率是_____．解:三人均达标的概率为0．8×0．6×0．5=0．24,三人中至少有一人达标的概率为1-0．2×0.4×0.5=0.96．归纳小结：根据实际问题分析好对立事件与互斥事件间的关系，一定要区分开对立和互斥的定义．互斥事件：不能同时发生的两个事件叫做互斥事件；对立事件：不能同时发生，但必有一个发生的两个事件叫做对立事件．例5甲、乙２人各进行１次射击，如果２人击中目标的概率都是0．6,计算：（1）２人都击中目标的概率；（2）其中恰有１人击中目标的概率；（3）至少有１人击中目标的概率；解：(1)记“甲、乙２人各射击１次，甲击中目标”为事件A；“甲、乙２人各射击１次，乙击中目标”为事件B．由于甲(或乙)是否击中，对乙(或甲)击中的概率是没有影响的因此A与B是相互独立事件．因此,“２人都击中目标”就是事件A·B．BPAPBAP=0.6×0.6=0.36．答：２人都击中目标的概率是0.36．解：（2）“其中恰有１人击中目标”包括：事件AB：“甲击中、乙未击中”和事件AB：“乙击中、甲未击中”．这两种情况在各射击1次时不可能同时发生，即AB与AB是互斥事件．()()()()()()PABPABPAPBPAPB=0.6×（1-0.6）+（1-0.6）×0.6=0.24+0.24=0.48．答：恰有1人击中目标的概率是0.48．（3）解法1：“其中至少有1人击中目标”的概率是：()[()()]PPABPABPAB=0.36+0.48=0.84．解法2：“2人都未击中目标”的概率是：()()()(10.6)(10.6)0.40.40.16PABPAPB．因此，至少有1人击中目标的概率是1()10.160.84PPAB．答：至少有1人击中目标的概率是0.84．4归纳小结：对于事件间的关系和运算要抓住定义，可用下图中的集合图象辅助分析，第(3)小题用对立事件进行求解,是一种常用的方法．例6（2008江西文）因冰雪灾害，某柑橘基地果林严重受损，为此有关专家提出一种拯救果树的方案，该方案需分两年实施且相互独立．该方案预计第一年可以使柑橘产量恢复到灾前的1.0倍、0.9倍、0.8倍的概率分别是0.2、0.4、0.4；第二年可以使柑橘产量为第一年产量的1.5倍、1.25倍、1.0倍的概率分别是0.3、0.3、0.4．（1）求两年后柑橘产量恰好达到灾前产量的概率；（2）求两年后柑橘产量超过灾前产量的概率．解：（1）令A表示两年后柑桔产量恰好达到灾前产量这一事件，则()0.20.40.40.30.2.PA（2）令B表示两年后柑桔产量超过灾前产量这一事件，则()0.20.60.40.60.40.30.48.PB归纳小结：本题主要考查了互斥事件的概率,相互独立事件的概率,以及运用概率知识解决问题的能力．难度不大,在做题时要抓住事件的定义和公式．例7（2007福建文）甲、乙两名跳高运动员一次试跳2米高度成功的概率分别是0.7，0.6，且每次试跳成功与否相互之间没有影响，求：（1）甲试跳三次，第三次才成功的概率；（2）甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率；（3）甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率．解：记“甲第i次试跳成功”为事件iA，“乙第i次试跳成功”为事件iB，依题意得()0.7iPA，()0.6iPB，且iA，iB（123i，，）相互独立．（1）“甲第三次试跳才成功”为事件123AAA，且三次试跳相互独立，123123()()()()0.30.30.70.063PAAAPAPAPA．答：甲第三次试跳才成功的概率为0.063．（2）“甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功”为事件C．解法一：111111CABABAB，且11AB，11AB，11AB彼此互斥，111111()()()()PCPABPABPAB111111()()()()()()PAPBPAPBPAPB0.70.40.30.60.70.650.88．解法二：11()1()()10.30.40.88PCPAPB．答：甲、乙两人在第一次试跳中至少有一人成功的概率为0.88．（3）设“甲在两次试跳中成功i次”为事件(012)iMi，，，“乙在两次试跳中成功i次”为事件(012)iNi，，，事件“甲、乙各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为1021MNMN且10MN，21MN为互斥事件，所求的概率为：10211021()()()PMNMNPMNPMN1021()()()()PMPNPMPN1221220.70.30.40.70.60.4CC0.06720.23520.3024.答：甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次的概率为0.3024．归纳小结：本小题考查互斥事件、相互独立事件的概率等基础知识，运用数学知识解决问题的能力，以及推理与运算能力．例8(2007陕西文)某项选拔共有四轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为4321,,,5555，且各轮问题能否正确回答互不影响．（Ⅰ）求该选手进入第四轮才被淘汰的概率；（Ⅱ）求该选手至多进入第三轮考核的概率．（注：本小题结果可用分数表示）解：（Ⅰ）记“该选手能正确回答第i轮的问题”的事件为(1234)iAi，，，，则14()5PA，23()5PA，32()5PA，41()5PA.该选手进入第四轮才被淘汰的概率为412341234()()()()()PPAAAAPAPAPAPP4324965555625．(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率为3112123()PPAAAAAA112123()()()()()()PAPAPAPAPAPA142433101.555555125归纳小结：本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率基础知识，考查运用概率知识解决实际问题的能力．题型4：综合问题6例9（2009天津文）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C