51学时固体物理模拟试题1答案

安徽师范大学学年第学期51学时固体物理模拟试题1——参考答案一、填空题（每小题2分，共12分）1、体心立方晶格的倒格子是面心立方点阵，面心立方晶格的倒格子是体心立方点阵。2、晶体宏观对称操作的基本元素分别是1、2、3、4、6、i、m（2）、4等八种。3、N对钠离子与氯离子组成的离子晶体中，独立格波波矢数为N，声学波有3支，光学波有3支，总模式数为6N。4、晶体的结合类型有金属结合、共价结合、离子结合、范德瓦耳斯结合、氢键结合及混合键结合。5、共价结合的主要特点为方向性与饱和性。6、晶格常数为a的一维晶体电子势能V(x)的傅立叶展开式前几项(单位为eV)为:,在近自由电子近似下,第二个禁带的宽度为2（eV）。二、单项选择题（每小题2分，共12分）1、晶格常数为a的NaCl晶体的原胞体积等于（D）.A、B、C、D、.2、金刚石晶体的配位数是（D）。A、12B、8C、6D、4.3、一个立方体的点对称操作共有（C）。A、230个B、320个C、48个D、32个.4、对于一维单原子链晶格振动的频带宽度，若最近邻原子之间的力常数β增大为4β，则晶格振动的频带宽度变为原来的（A）。A、2倍B、4倍C、16倍D、1倍.5、晶格振动的能量量子称为（C）。A、极化子B、激子C、声子D、光子.6、三维自由电子的能态密度，与能量E的关系是正比于（C）A、12EB、0EC、2/1ED、E.三、问答题（每小题4分，共16分）1、与晶列垂直的倒格面的面指数是什么？解答正格子与倒格子互为倒格子。正格子晶面与倒格矢垂直,则倒格晶面与正格矢正交。即晶列与倒格面垂直。2、晶体的结合能、晶体的内能、原子间的相互作用势能有何区别?解答自由粒子结合成晶体过程中释放出的能量,或者把晶体拆散成一个个自由粒子所需要的能量,称为晶体的结合能。原子的动能与原子间的相互作用势能之和为晶体的内能。在0K时,原子还存在零点振动能.但零点振动能与原子间的相互作用势能的绝对值相比小得多。所以,在0K时原子间的相互作用势能的绝对值近似等于晶体的结合能。3、温度一定，一个光学波的声子数目多呢,还是声学波的声子数目多?而对同一个振动模式,温度高时的声子数目多呢,还是温度低时的声子数目多?解答频率为的格波的(平均)声子数为:11)(/TkBen.因为光学波的频率O比声学波的频率A高,(1/TkBOe)大于(1/TkBAe),所以在温度一定情况下,一个光学波的声子数目少于一个声学波的声子数目。设温度THTL,由于(1/HBTke)小于(1/LBTke),所以温度高时的声子数目多于温度低时的声子数目.4、将布洛赫函数中的调制因子kur展成付里叶级数,对于近自由电子,当电子波矢远离和在布里渊区边界上两种情况下,此级数有何特点?在紧束缚模型下,此级数又有什么特点?解答由布洛赫定理可知,晶体中电子的波函数,由kur的展开公式可得=。对于近自由电子,当电子波矢远离布里渊区边界时,它的行为与自由电子近似,近似一常数。因此,的展开式中,除了外,其它项可忽略.。当电子波矢落在与倒格矢Kn正交的布里渊区边界时,与布里渊区边界平行的晶面族对布洛赫波产生了强烈的反射,展开式中,除了和两项外,其它项可忽略.在紧束缚模型下,电子在格点Rn附近的几率2大,偏离格点Rn的几率2小.。对于这样的波函数,其付里叶级数的展式包含若干项.也就是说,紧束缚模型下的布洛赫波函数要由若干个平面波来构造。四、计算题（每小题10分，共30分）1、求出一维单原子链的S态能带、速度、有效质量的表达式。解s00JRSisREEJeskRk最近邻=110()02cosikaikassEJJeeEJJkaV（k）=11dEEdkkK=12sinJakam=2/（22dEkdk）=2212cosJaka2、某固体表面原子形成二维长方晶格，其布拉伐点阵为：1122lllRaa，其中1232aa，求其倒格子点阵，并画出第一、第二布里渊区。解22,123231baabaa，取a3为垂直晶面的单位矢量k0,a1、a2分别沿x、y轴，于是1222,aa12bibj=32b1倒点阵为：Kn=123nnn123bbb图中横线区为1BZ，竖线区为2BZ3、计算CsCl晶体的几何结构因子F（Kh），并讨论衍射面指数与衍射光强的关系。解每个元胞有两个不同离子，位矢为r1:（0,0,0）,r2:（1/2,1/2,1/2）所以，CsCl晶体的几何结构因子F（Kh）为：F（123,,hhh）=1122332iiiihxhxhxiife=f1+f2123ihhhe当123hhh=偶数，F=12ff；当123hhh=奇数，F=12ff衍射强度I2F，所以，当123hhh=偶数时，衍射加强，当123hhh=奇数时，衍射减弱。如果12ff，则I0，出现衍射消光。五、证明题（每小题题10分，共30分）1、NaCl型离子晶体排斥势的幂指数为：n=1+4002418Re证：晶体平衡时的体积弹性模量为022VdUVdV其中，V=N（2r3）,U=N（AnBrr）,A=204e平衡条件00rdUdr，结合诸式可得24001418neRn=1+4002418Re2、某三维晶体光频支的色散关系为20qAq，则对应的声子谱密度为：1/20min023/20min400VA，2/32min06NAV。证：32qsdSVq=21/20323/24242VqVAqA（0）又由0mindN得2/32min06NAV且min所以，1/20min023/20min400VA3·根据布洛赫布洛赫定理，晶体中电子的波函数为Ψk（r）=erik.uk（r）,且uk（r）=uk（r+Rl），则⑴uk（r）满足方程：（-m22（▽+ik）2+V（r））uk（r）=E（k）uk（r）;（2）E（k）=E（k+kh）,Ψk（r）=ΨhkK（r），kh为倒格矢。证：▽2Ψ=▽2〔erik.uk（r）〕=erik.（▽+ik）2uk（r）①-m22▽2Ψ+V（r）Ψ=E（k）Ψ②∴（-m22（▽+ik）2+V（r））u（k,r）=E（k）u（k,r）③又∵ΨhkK（r）=erik.〔e.rikhuhkK（r）〕代入②得（-m22（▽+ik）2+V（r））〔e.rikhu（k+kh，r）〕=E（k+kh）〔e.rikhu（k+kh，r）〕④比较③④，算符相同，边界条件相同，由解的唯一性必有：E（k）=E（k+kh）,Ψ（k,r）=Ψ（k+kh,r）