52反馈控制与极点配置

第五章线性系统综合5.2极点配置问题本节讨论如何利用状态反馈与输出反馈来进行线性定常连续系统的极点配置,即使反馈闭环控制系统具有所指定的闭环极点。对线性定常系统,系统的稳定性和各种性能的品质指标,在很大程度上是由闭环系统的极点位置所决定的。因此在进行系统设计时,设法使闭环系统的极点位于s平面上的一组合理的、具有所期望的性能品质指标的极点,是可以有效地改善系统的性能品质指标的。这样的控制系统设计方法称为极点配置。在经典控制理论的系统综合中,无论采用频率域法还是根轨迹法,都是通过改变极点的位置来改善性能指标,本质上均属于极点配置方法。本节所讨论得极点配置问题,则是指如何通过状态反馈阵K的选择,使得状态反馈闭环系统的极点恰好处于预先选择的一组期望极点上。由于线性定常系统的特征多项式为实系数多项式,因此考虑到问题的可解性,对期望的极点的选择应注意下列问题:1)对于n阶系统,可以而且必须给出n个期望的极点;2)期望的极点必须是实数或成对出现的共轭复数;3)期望的极点必须体现对闭环系统的性能品质指标等的要求。p2p1p3基于指定的期望闭环极点,线性定常连续系统的状态反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统确定反馈控制律uxxBA使得状态反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点也就是成立vxuKnisBKAii,...,2,1,)(*下面分别讨论:状态反馈极点配置定理SISO系统状态反馈极点配置方法输出反馈极点配置5.2.1状态反馈极点配置定理在进行极点配置时,存在如下问题:被控系统和所选择的期望极点满足哪些条件,则是可以进行极点配置的。下面的定理就回答了该问题。定理对线性定常系统(A,B,C)利用线性状态反馈阵K,能使闭环系统K(A-BK,B,C)的极点任意配置的充分必要条件为被控系统(A,B,C)状态完全能控。□证明(1)先证充分性(条件结论)。即证明,若被控系统(A,B,C)状态完全能控,则状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)必能任意配置极点。由于线性变换和状态反馈都不改变状态能控性,而开环被控系统(A,B,C)状态能控,因此一定存在线性变换能将其变换成能控规范I形。不失一般性,下面仅对能控规范形证明充分性。证明过程的思路为:分别求出闭环系统的传递函数阵及期望的特征方程比较两特征多项式建立可极点配置的条件证明过程:设SISO被控系统(A,B,C)为能控规范I形,则其各矩阵分别为1111...10...0...1...00............0...10bbbCBaaaAnnnn且其传递函数为nnnnnasasbsbsG......)(1111若SISO被控系统(A,B,C)的状态反馈阵K为K=[k1k2…kn]则闭环系统K(A-BK,B,C)的系统矩阵A-BK为nnnkakakaBKA--...----1...00............0...10-1211相应的状态反馈闭环控制系统的传递函数和特征多项式分别为)(...)()()(...)(...)(11111111kaskassfkaskasbsbsGnnnnknnnnnnk如果由期望的闭环极点所确定的特征多项式为f*(s)=sn+a1*sn-1+…+an*那么,只需令fK(s)=f*(s),即取a1+kn=a1*an+k1=an*则可将状态反馈闭环系统K(A-BK,B,C)的极点配置在特征多项式f*(s)所规定的极点上。即证明了充分性。同时,我们还可得到相应的状态反馈阵为K=[k1k2…kn]其中*11ininikaa)(...)()()(...)(...)(11111111kaskassfkaskasbsbsGnnnnknnnnnnk(2)再证必要性(结论条件)。即证明,若被控系统(A,B,C)可进行任意极点配置,则该系统是状态完全能控的。采用反证法。即证明,假设系统是状态不完全能控的,但可以进行任意的极点配置。证明过程的思路为:对状态不完全能控开环系统进行能控分解对能控分解后的系统进行状态反馈其完全不能控子系统不能进行极点配置与假设矛盾,必要性得证1111121222200AABAxxuxx其中状态变量是完全能控的;状态变量是完全不能控的。1x2x对能控分解后的系统进行状态反馈11111112121222200ABKABKBAxxvxx其中12[]cKKKP被控系统(A,B,C)状态不完全能控,则一定存在线性变换x=Pc,对其可进行能控分解,得到如下状态空间模型:x由能控规范I形的状态反馈闭环系统的传递函数表明,状态反馈虽然可以改变系统的极点,但不能改变系统的零点。当被控系统是状态完全能控时,其极点可以进行任意配置。因此,当状态反馈闭环系统极点恰好配置与开环的零点重合时,则闭环系统的传递函数中将存在零极点相消现象。根据零极点相消定理可知,闭环系统或状态不能控或状态不能观。)(...)(...)(11111kaskasbsbsGnnnnnnk由于状态反馈闭环系统保持其开环系统的状态完全能控特性,故该闭环系统只能是状态不完全能观的。这说明了状态反馈可能改变系统的状态能观性。从以上说明亦可得知,若SISO系统没有零点,则状态反馈不改变系统的状态能观性。5.2.2SISO系统状态反馈极点配置方法极点配置算法1（维数较大）1.对于SISO线性定常连续系统的极点配置问题,若其状态空间模型为能控规范I形,则相应反馈矩阵为K=[k1…kn]=[an*-an…a1*-a1]其中ai和ai*(i=1,2,…,n)分别为开环系统特征多项式和所期望的闭环系统特征多项式的系数。)(...)()()(...)(...)(11111111kaskassfkaskasbsbsGnnnnknnnnnnk对能控规范I形进行极点配置,求得相应的状态反馈阵;通过如下变换,原系统的相应状态反馈阵K为2.若SISO被控系统的状态空间模型不为能控规范形,则利用线性变换将系统(A,B)变换成能控规范I形(,)AB(,)AB(2)求状态反馈后闭环系统的特征多项式：)](det[)(BKAIf011121*))))(aaafnnnn（（（(4)由确定反馈矩阵K：][21nkkkK)()(*ff极点配置算法2(1)判断系统能控性。如果状态完全能控，按下列步骤继续。直接法求反馈矩阵K（维数较小时，n≤3时）-(3)求由期望闭环特征值决定的特征多项式：下面通过两个例子来说明计算状态反馈阵K的方法。例5-2设线性定常系统的状态方程为122131xxu求状态反馈阵K使闭环系统的极点为-1±j2。解1：判断系统的能控性。开环系统的能控性矩阵为114-2][ABB则开环系统为状态能控,可以进行任意极点配置。2.求能控规范I形:10~2510~8121613/16/1]][10[12212111211BTBATTAATTTABBTcccc3.求反馈律:因此开环特征多项式f(s)=s2-2s-5,而由期望的闭环极点-1j2所确定的期望闭环特征多项式f*(s)=s2+2s+5,则得状态反馈阵K为3/263/7-81-21-61)]2-(-2)5-(-5[]--[~121*12*212ccTaaaaTKK则在反馈律u=-Kx+v下的闭环系统的状态方程为11582141713xxu通过验算可知,该闭环系统的极点为-1±j2,达到设计要求。例5-3已知系统的传递函数为)2)(1(10)(ssssG试选择一种状态空间实现并求状态反馈阵K,使闭环系统的极点配置在-2和-1±j上。解1：要实现极点任意配置,则系统实现需状态完全能控。因此,可选择能控规范I形来建立被控系统的状态空间模型。故有010000100231[1000]xxuyx2.系统的开环特征多项式f(s)和由期望的闭环极点所确定的闭环特征多项式f*(s)分别为f(s)=s3+3s2+2sf*(s)=s3+4s2+6s+4则相应的反馈矩阵K为K=[a3*-a3a2*-a2a1*-a1])2)(1(10)(ssssG因此,在反馈律u=-Kx+v下,闭环系统状态方程为010000104641[1000]xxuyx在例3中,由给定的传递函数通过状态反馈进行极点配置时需先求系统实现,即需选择状态变量和建立状态空间模型。这里就存在一个所选择的状态变量是否可以直接测量、可以直接作反馈量的问题。由于状态变量是描述系统内部动态运动和特性的,因此对实际控制系统,它可能不能直接测量,更甚者是抽象的数学变量,实际中不存在物理量与之直接对应。若状态变量不能直接测量,则在状态反馈中需要引入所谓的状态观测器来估计系统的状态变量的值,再用此估计值来构成状态反馈律。这将在下节中详述。5.2.3输出反馈极点配置输出反馈也称之为部分状态反馈。由于输出反馈包含的信息较状态反馈所包含的信息少,因此输出反馈的控制与镇定能力必然要比状态反馈弱。线性定常连续系统的输出反馈极点配置问题可描述为:给定线性定常连续系统ABCxxuyx确定反馈控制律使得输出反馈闭环系统的闭环极点配置在指定的n个期望的闭环极点下面,先通过一输出反馈闭环系统的极点变化,考察输出反馈能否像状态反馈那样对能控系统进行极点配置,然后给出相关结论。u=-Hy+v例考察下述能控能观的系统它在输出反馈下u=-hy下的闭环系统为其闭环特征多项式为s2+h。xxx01100010yu0100110uhyxxx上例说明,输出反馈对能控能观系统可以改变极点位置,但不能进行任意的极点配置。因此,对某些系统,采取输出反馈可能不能配置闭环系统的所有极点,使得闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点。故,欲使闭环系统稳定或具有所期望的闭环极点,要尽可能采取状态反馈控制或动态输出反馈控制(动态补偿器)。步骤：