6-用有限单元法解平面问题

土木工程与力学学院蒋一萱12020/1/12第六章用有限单元法解平面问题土木工程与力学学院蒋一萱22020/1/12主要内容§6.1有限元法基本思想§6.2有限元直观方法§6.3有限单元法的一般理论§6.4平面问题的有限单元法§6.5计算实例土木工程与力学学院蒋一萱32020/1/12§6.1有限元法基本思想1、有限单元法的发展2、有限单元的基本思想3、有限单元法的基本步骤4、有限单元法的基本术语5、有限单元法的特点6、有限单元法的分类7、有限单元法的发展方向土木工程与力学学院蒋一萱42020/1/12§6.1有限元法基本思想1.有限单元的发展：有限单元法是一种数值计算方法，是1960年Clough在分析飞机结构时提出并命名的，并在弹性力学中得到广泛应用1943年Courant求解St.Venant扭转问题时提到有限单元法的思想(finiteelementmethod——FEM)1956年Turner、Clough将钢架分析中的位移法推广到弹性力学平面问题中，开始利用电子计算机求解复杂力学问题土木工程与力学学院蒋一萱52020/1/12§6.1有限元法基本思想涉及复杂几何形状、荷载和材料特性的问题通常不能得到解析形式的数学解答；可以利用数值方法，这些数值解可以给出连续体中多个离散点上未知量的近似值；有限元法是解决工程和数学物理问题的一种非常有效的数值方法。有限单元法土木工程与力学学院蒋一萱62020/1/12§6.1有限元法基本思想2.有限单元的基本思想：提出有限单元的基本思想是为了能够获得不规则求解域、不规则边界条件以及不规则荷载作用下的力学信息，并使得该方法普及实现办法：有限种类的标准构件的组合逼近求解域如：有了建筑中的标准构件砖块、门窗框架、支柱等可以设计出形状各异的建筑物即有限元的思想是将复杂形状用简单标准构件的组合逼近土木工程与力学学院蒋一萱72020/1/12§6.1有限元法基本思想有限单元法(FEM-FiniteElementMethod)基本思想：1)将一个物体划分成数目有限的小块体(单元)，彼此之间只在数目有限的指定点(结点)处相互连接，用单元的集合体来代替原来的连续体；由于单元能按照不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模拟几何形状非常复杂的求解体。2)有限元法利用在每一个单元内假设的的近似函数(形函数)来分片地表示全求解域上待求的未知场函数。单元内的近似函数由未知场函数在单元的各个节点的数值和其插值函数来表达。土木工程与力学学院蒋一萱82020/1/12§6.1有限元法基本思想有限单元法(FEM-FiniteElementMethod)基本思想：（续）3)一个问题的有限元分析中，未知场函数在各个节点上的数值就成为新的未知量，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。4)一经求解出这些未知量，就可以通过插值函数计算出各个单元内场函数的近似值，从而得到整个求解域上的近似解。显然，随着单元数目的增加，也即单元尺寸的缩小，或者随着单元自由度的增加以及插值函数精度的提高，解的近似程度将不断改进，如果单元是满足收敛要求的，近似解最后将收敛于精确解。土木工程与力学学院蒋一萱92020/1/12§6.1有限元法基本思想3.有限元的基本步骤将连续体离散成一下小区域，称为单元，一般单元形状比较规则建立单元节点力与位移间的关系将所有的方程联立组成的方程组引进边界条件和连接条件求解方程组，进而得到原问题的解自然离散：如桁架逼近离散：连续体如梁、板单元可以不相同，有一维单元、二维单元和三维单元等土木工程与力学学院蒋一萱102020/1/12§6.1有限元法基本思想单元Element节点Node4.有限元中的基本术语：土木工程与力学学院蒋一萱112020/1/12§6.1有限元法基本思想单元Element节点Node结构DOFsROTZUYROTYUXROTXUZ结构位移热温度电电位流体压力磁磁位方向自由度模型－Model节点－Node单元－Element自由度－DOF(DegreeOfFreedom)土木工程与力学学院蒋一萱122020/1/12§6.1有限元法基本思想5.有限单元法的特点可以方便的模拟不规则形状的结构；该方法采用矩阵形式的表达，便于编制计算机程序。应用范围：工程技术领域中的许多力学问题和场问题，如固体力学中的位移场、应力场分析、电磁学中的电磁分析、振动特性分析、热力学中的温度场分析，流体力学中的流场分析等；可以方便的处理一般荷载条件；因为单元方程时单个的建立的，因此可以模拟由几种不同材料构成的物体；可处理大变形和非线性材料带来的非线性问题；土木工程与力学学院蒋一萱132020/1/12§6.1有限元法基本思想土木工程与力学学院蒋一萱142020/1/12§6.1有限元法基本思想土木工程与力学学院蒋一萱152020/1/12§6.1有限元法基本思想6.有限单元法的分类有限元位移法：基本未知量为节点的位移；有限元力法：基本未知量为节点力；有限元混合法：基本未知量为节点的力和位移；土木工程与力学学院蒋一萱162020/1/12§6.1有限元法基本思想7.有限单元法的发展方向新型单元的研究；有限元的数学理论；向新领域扩展应用；大型通用程序的编制和设计；ANSYS,NASTRAN,ABAQUS与通用结构模型设计软件的无缝集成（CAD,CAE,CAM）；土木工程与力学学院蒋一萱172020/1/12§6.2有限元的直观方法我们首先从直观方法来阐述有限元法的基本概念和求解过程，这种直观方法也是有限元早期发展的开端，这将有利于初学者对这一方法的思路和物理意义有一个直观的了解。杆、梁是工程技术人员所熟悉的标准结构构件，用杆、梁的组合体来模拟弹性体的性质，直观地使用节点连结离散构件来逼近连续结构，并利用结构力学中的位移法或力法建立有限元计算格式，这种方法叫做直观有限元法，简称直接法。直观法易于理解，但只能用于简单问题。土木工程与力学学院蒋一萱182020/1/12§6.2有限元的直观方法一.杆件有限元桁架结构中的任意一杆件称为一个单元，每一个单元只承受轴向力，发生轴向变形首先将杆件的两端标号，如i、j称之为节点写出节点的力和位移,,xiiiiyiijxjjjjyjfufvufvfufuf写出节点力和位移的关系coscos,sinsinijNNff1.单元刚度矩阵土木工程与力学学院蒋一萱192020/1/12§6.2有限元的直观方法轴向力：N＝AE轴向变形：＝dl/l222()()22()()2()()()cos()sinjijijijijijijijilxxyyldlxxdxdxyydydydldxdxdydy微分cos()/sin()/jijixxlyyl注：[cos()sin()]jijiAENAEuuvvl1[cos()sin()]jijiuuvvl土木工程与力学学院蒋一萱202020/1/12§6.2有限元的直观方法轴向力：N＝AE节点位移，待求变量节点力一般已知coscos,sinsinijNNff[cos()sin()]jijiAENAEuuvvl土木工程与力学学院蒋一萱212020/1/12§6.2有限元的直观方法将单元节点力与单元节点位移写成矩阵形式22222222coscossincoscossincossinsincossinsincoscossincoscossincossinsincossinsinxixiyiyiexjxjyjyjeefufvAEfulfvFKU单元刚度矩阵其元素的含义为，如kii为在i节点产生水平位移为1时在i节点所需的水平力,iiiijieeejjijjjfkkuFKUfkku，单元刚度矩阵的性质：对称性、奇异性、主对角元素非负土木工程与力学学院蒋一萱222020/1/12§6.2有限元的直观方法节点i的平衡xiyiFFi、是作用在节点上的节点力,,iiiijieeejjijjjfkkuFKUfkkuiiiiijjfkuku根据节点力平衡2.整体刚度矩阵eeeFKU以杆ij为例土木工程与力学学院蒋一萱232020/1/12§6.2有限元的直观方法,,iiiiieee=j,m,pejmpFkuku节点平衡方程：把所有节点平衡方程组成系统方程组KU=F整体刚度矩阵iiiiijjfkuku土木工程与力学学院蒋一萱242020/1/12§6.2有限元的直观方法？如何得到整体刚度矩阵K,,iiiiieee=j,m,pejmpFkuku,,ijiiiijimipjmpmpijmpiuuFkkkkuu由单元刚度矩阵得整体刚度矩阵土木工程与力学学院蒋一萱252020/1/12§6.2有限元的直观方法1231234xy11111221212422122222223243412112342uFkkuuuFkkkkkkuu222333233333434424334423423434344444uuFkkkkuFkkkkuuu11223344uuuuFFKFFP4土木工程与力学学院蒋一萱262020/1/12§6.2有限元的直观方法ijxy11121121232422323433424344123400u1u20u30u4124222222233333344444kkFkkkkkkFkkkkFkkkkF2222coscossincossinsincoscossincossinsiniiijAElAElkk土木工程与力学学院蒋一萱272020/1/12§6.2有限元的直观方法1＝3/2，2＝0，3＝/2，4＝/4111222000000,010101AEAEAElllkk,k第1单元单元刚度矩阵：222333101010,000000AEAEAElllkk,k第2单元单元刚度矩阵：－333444000000,010101AEAEAElllkk,k第3单元单元刚度矩阵：－222444112211221122112211221122AElAElAElkkk第4单元单元刚度矩阵：1231234xyP4土木工程与力学学院蒋一萱282020/1/12系统平衡方程组：11112222333344440000000001010000001.50.5100.50.5010.51.5000.50.500101000000001010010000.50.50000010.51.5xyxyxyxyFuFvFuFvuFvFuFvF