6秩亏自由网平差S的求法与基准

各类自由网S和G的确定赵超英主要内容秩亏自由网平差的三种解法回顾各类自由网S的确定S与基准的关系①求N的最小范数逆----Mittermayer（1971）秩亏自由网平差的解法分类③附加条件法----Mittermayer（1972）④伪观测法----Pelzer（1974）⑦坐标转换法----e.g.XuPL（1999？2000？）原理类似PlANXTmrˆPlANXTrˆPlASSNCQCNXTT11)(ˆ解法三：伪观测法解法一：最小二乘最小范数解法解法四：附加条件法rTXˆSAOlT1T11S)SS(SINQPlAQXˆT11rminˆˆXXT0ˆPlAXNT1n1urun1nlXˆAV0XˆS1urTud证明三种解法的等价性（一）PlAQXˆT11r0XˆS1urTud11T-1T1111111111llT11XˆXˆQS)SS(SQQNQQPAQPQAQQrrT1T11S)SS(SINQ0QS11Tm11NNQ可以证明minˆˆXXT主要内容秩亏自由网平差的三种解法回顾各类自由网S的确定S与基准的关系各类自由网S和G的确定1、水准网d=1。由于误差方程系数阵A中的每一行元素总是出现两个基本元素+1和-1，其元素结构总是形如:11111111tnA可以推出法方程系数阵N=ATA，形式如下：210012101012100112N111TS0AS0NS1111tGT2、测边网、边角网对于自由测边网，其系数阵A的秩亏数为3，即缺少两个位置基准（X，Y）和一个方位参数。测边网误差方程的一般形式为ikkikkikiikiikiklybxaybxavˆˆˆˆ000000,ikkiikikkiiksyybsxxa自由测边网中没有固定点，因此每条边的两端点坐标未知数必同时出现在误差方程中，故系数阵中的每一行元素结构总是形如ikikikikibabaAT0101T1010Tmmxyxy000101满足AS=0，由上述特征向量可得S为：A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有三个，分别是：0m0m02020101T2m3xyxyxy101010010101S将S标准化，可得G矩阵形式如下：HxHyHxHyHxHymmmmmmGmmT0002020101101010010101此时IGGT100010001由于测边网中的观测方程为非线性方程，在线性化处理中，总假定坐标改正数为微小量，因此仅取其一次项（即线性）。所以在假定坐标近似值时，应尽量逼近坐标平差值，以减少因线性化所带来的误差。一般可先假定任一点的坐标，再根据相应的观测值推算网中其余点的近似坐标。•参考：XuPL.AGeneralSolutioninGeodeticNonlinearRank-defectModels[J].BollettinodiGeodesiaeScienzeAffini,1997,56(1):1225.•讲师：GilbertStrang职业：麻省理工学院教授3、测角网对于自由测角网，其系数阵A的秩亏数为４，即缺少两个位置基准（X，Y）、一个方位基准和一个尺度基准。测角网的误差方程式为ikjkkkjhjhhjhjjkjhjkjhilyˆbxˆayˆbxˆayˆ)bb(xˆ)aa(vj20002000)()xx(,)()yy(jhjhjhjhjhjhsbsa自由测角网中没有固定点，因此每个水平角为两水平方向之差。三个坐标点的坐标未知数必同时出现在误差方程中，故系数阵中的每一行元素结构总是形如jkjkjhjhjkjhjkjhbababbaa)()(Tmmyxyx000101A的行列式等于0，有非零解，特征值0对应的特征向量有四个，除与水平网相同的三个特征向量外，还有一个尺度基准对应的特征向量：0002020101000202010124101010010101mmmmmTyxyxyxxyxyxyS将S标准化，可得G矩阵形式如下：HyHxHyHxHyHxHxHyHxHyHxHymmmmmmGmmmmT000202010100020201011010100101014、GPS网（1）GPS网的观测量为基线，隐含旋转参数和尺度参数，GPS自由网的秩亏数为３，必要起始数据是网中一点的三维坐标。GPS网可以简单看成是三维方向的水准网，某基线向量的观测方程为：10010010001001001000100100133TmS00010010000001001000000100133mA因此，参照水准网情况，可写出GPS网的S矩阵形式如下：10010010001001001000100100133TmS其对应的Ｇ矩阵形式如下：100100100010010010001001001133mGTm当尺度基准和方位基准不依靠GPS网本身提供时，GPS自由网的秩亏数为7，必要起始数据是网中三个位置基准，三个方位基准，一个尺度基准，因此，可写出GPS网的Ｓ矩阵形式如下：5、GPS网（2）将S矩阵标准化，即可得到Ｇ矩阵。00001010100010100010100010137000000100100010010001001mmmmmmmmmmTzyxzyxxyxyxzxzyzyzS位置基准方位基准尺度基准参考文献1.张勤等，附有系统参数和附加约束条件的GPS城市沉降监测网数据处理方法研究2.张勤等，顾及板块运动、稳定性和系统偏差的高精度GPS监测基准研究与实现其他应用如何找到基准1、InSAR小基线解算2、摄影照片拼接中国石油大学（华东）杰出校友榜中国石油大学外景主要内容秩亏自由网平差的三种解法回顾各类自由网S的确定S与基准的关系1、自由网：内部形状仅由相对观测值确定的大地网对于任一自由网，依据最小二乘原理进行平差后，就可以达到合理消除网中各种几何条件不符值的目的，此时自由网可以得到唯一的闭合网形，即可确定网的最佳相对形状若此时网中拥有必要的起算数据，则可由此起算数据推求其它的未知数据对于秩亏自由网，由于网中无外部固定数据，因此网形的外部绝对位置就无法确定，因而网形浮动若要唯一确定网形，必须给定基准〇、引言2、自由网平差的基准自由网平差基准分类自由网：内部形状仅由相对观测值确定的大地网；一维网：相对重力值，高差；二维网：高度、方位角、距离；三维网：角度、天顶距、距离；按最小二乘进行自由网平差，必须给定自由网平差基准或自由网定位数据，否则平差秩亏。根据平差前后基准是否有变化：强基准：平差前后基准形式固定不变（值不变）弱基准：平差后基准数据会得到修正根据平差中参数必须满足的附加条件：经典自由网平差基准秩亏自由网平差基准参数加权平差基准3、基准：平差中的不变量固定基准重心基准？强基准弱基准一、经典自由网平差基准1.一维水准网：600ˆˆ01101121321XXVVV600ˆˆˆ110011101321321XXXVVV（1）（2）3033ˆXXX033XX设0ˆ3X称为基准条件方程10031TCG0ˆXGTC321ˆˆˆˆXXXX其中，，x2x1x3h1h2h32.二维测角网假设所有点的纵横坐标为未知数，给定网中两个点的坐标为固定（已知）坐标或一个点的纵横坐标、一条边方位角、一条边的边长为固定值（已知）。——这些固定数据构成二维网的平差基准。①当1、2两点已知（固定）坐标，则：0ˆ0ˆ0ˆ0ˆ2211YXYX...01000...00100...00010...0000124TCGt0ˆXGTC为基准方程设...000......0......010......001131313131212121224dcdcbabaGtTC②当1点坐标，1-2边上方位角，1-3边的边长已知（固定）则：011ˆXXA011ˆYYA1212121ˆˆˆˆAAAAXXYYtg13213213)ˆˆ()ˆˆ(SYYXX0ˆˆˆˆ0ˆˆˆˆ0ˆ0ˆ31331311311321221211211211YdXcYdXcYbXaYbXaYX3、二维测边网、边角网、导线网①基准条件：一个已知点坐标、一条边上的方位角0ˆˆˆˆ0ˆ0ˆ21221211211211YbXaYbXaYX0ˆ1223ttTCXG............0010......00011212121224babaGtTC其中由讨论可知，经典自由网平差实质上是：minPVVT——平差原则lXAVˆ——平差函数模型0ˆXGVTCg——基准条件二、秩亏自由网平差基准经典自由网平差——给定基准的位置，对整个网进行外部配置。秩亏自由网平差——无外部配置，以什么为基准？（存在基准，基准为何？）应讨论秩亏自由网平差中，为获得唯一解利用最小范数条件：minXXTminminXXPVVTTlAXVminXXT0ˆXGVTg等价于：即基准条件是什么？方法：1.将广义逆转化为求凯莱逆。（与经典方法一致）2.用于研究秩亏网平差基准。3.各种平差结果之间相互转换。1、一维水准网：1...11TS0ˆXST0ˆ......ˆˆ21tXXX——平差后各点改正数之和为零标准化后：0)ˆ......ˆˆ(1ˆ21tTXXXtXG即minˆˆXXTminˆ12tiix0ˆ1tiix0ˆXST证明三种解法的等价性（二）利用S（G）阵研究秩亏网基准观测后，各点高程的平均值（由近似高程求得的水准网的重心点高程）tiitiitiiitiixtXtxXtXtX1101010ˆ11)ˆ(1ˆ1所以：tiitiiXtXtX10101ˆ1——平差后各点高程的平均值等于平差前各点近似高程的平均值。普通（秩亏）自由网平差，网的重心高程不变——强基准经典自由网平差，平差后固定点高程不变，其他高程点相对已知高程而确定。秩亏网：其他高程点相对于重心点而确定。所以，秩亏自由网平差是以近似值系统为基础的。由于近似值不同，未知数平差值也不同（高程不同）;经典自由网平差如果已知点变了，所有高程也在垂直方向平移。.........1010...01010202010102020101YXYXXYXYGT2、二维测角网a、基准条件：0ˆXGT0ˆ1miix0ˆ1miiy0)ˆˆ(010iiimiiyXxY0)ˆˆ(010iiimiiyYxX