6第六章_FIR数字滤波器的设计.

第六章FIR数字滤波器的设计6-1FIR数字滤波器的性质6-2FIR滤波器的窗函数设计6-3FIR滤波器频率采样法设计6-4FIR滤波器的等波纹优化设计6-1FIR数字滤波器的性质设FIR的单位脉冲响应h(n)（h(n)为实数，长度为N）的Z变换为10)()(NnnznhzH（6-1-1）是Z-1的N-1阶多项式，在Z平面上有个N-1零点，在原点有N-1个重极点。由4.3节曾指出，如果h(n)满足下面的偶对称和奇对称条件，FIR滤波器将具有严格的线性相位特性。)1()()1()(nNhnhnNhnh下面推导滤波器的线性相位特性（6-1-2）1.线性相位特性偶对称情况—h(n)=h(N-1-n)由于则)1()(nNhnhnNnnNnznNhznhzH1010)1()()(nNnNnNNnznhzznh10)1()1(10)()(即)()(1)1(zHzzHN（6-1-3）（6-1-4）则有][21)(][)(21)]()([21)()21()21(102/)1()1(101)1(NnNnNnNnNnNnNzznhzzzznhzHzzHzH（6-1-5）因此)]21(cos[)(|)()(10)21(NnnhezHeHNnNjezjj其求和项全为实数)()()(jjeHeH即的形式幅度函数和表示成相位函数将,)()()(HeHj（6-1-6）则)21()()]21(cos[)()(10NNnnhHNn（6-1-7）其中幅度函数是标量函数，可正可负；相位函数是的线性函数，且通过原点，即具有严格的线性相位特性。如图所示（6-1-8）奇对称情况—h(n)=-h(N-1-n)在式（6-1-4）中以-h(N-1-n)代替h(N-1-n)，可得则H(z)可写成)()(1)1(zHzzHN])[(21)]()([21)(21)21(10)21(1)1(NnNnNnNNzznhzzHzzHzH（6-1-9）因此有10]2)21([10)21()]21(sin[)()]21(sin[)()(NnNjNnNjjNnnheNnnhjeeH（6-1-10）由式（6-1-6）求得2)21()()]21(sin[)()(10NNnnhHNn（6-1-11）（6-1-12）此相位特性同样为一严格的直线，但在零点处有的截距。2其相位特性如图所示这说明相位特性不仅有个抽样周期的延时，并且对通过滤波器的所有频率分量产生即90°的相移。221N将式（6-1-8）和（6-1-12）分别代入式（6-1-6），可求得群延时为可见，无论是奇对称或偶对称，其群延时均为常数，为个抽样间隔。21N21)()(Ndd（6-1-13）2.线性相位FIR滤波器的幅频特性下面分4种情况对其进行讨论第1种情况：偶对称，N取奇数由于)]21(cos[)]21(cos[)]211(cos[)1()(NnnNNnNnNhnh因此式中的各项相对于对称的项相等。10)]21(cos[)()(NnNnnhH（6-1-7）2/)1(N将相等项合并，因N为奇数，余中间项)21(Nh2/)3(010)]21(cos[)(2)21()]21(cos[)()(NnNnNnnhNhNnnhH故令，则有nNm212/)1(1cos)21(2)21()(NmmmNhNhH将上式记为)21()0(Nha2/)3(0cos)()(NnnnaH（6-1-14）其中（6-1-15）（6-1-16）21,2,1),21(2)(NnnNhna因此该滤波器适合于设计任何关于为偶对称特性频率的滤波器。2,0，由于对皆为偶对称，所以幅度函数对也是偶对称。2,0，2,0，ncos)(H第2种情况：偶对称，N取偶数和前一种情况推导相同，因N为偶数，余项12/0)]21(cos[)(2)(NnNnnhH故式(6-1-7)两两合并，化为令，得mNn22/1)]21(cos[)2(2)(NmmmNhH不存在，)21(Nh将上式记为2,,2,1),2(2)(NnnNhnb2/1)]21(cos[)()(NnnnbH（6-1-16）其中（6-1-17）因此这种情况不适合做在处不等于零的滤波器，如高通滤波器。特点：当时，，故，即在z=-1为零点，且由于对呈奇对称，因而对也呈奇对称。0)]21(cos[m)(H0)(H)(zH)]21(cos[m第3种情况：奇对称，N为奇数因h(n)对为奇对称，则有推导方法与前面类似，由式（6-1-11）得21N21,,2,1),21(2)()sin()()(2/)1(1NnnNhncnncHNn0)21(Nh（6-1-18）（6-1-19）这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器，如低通和高通滤波器。式（6-1-18）表明，当时，，相当于在z=1和z=-1有两个零点，并且由于对呈奇对称，因而对也呈奇对称。2,,0)(H0)(H)(zH)sin(n2,,02,,02,,0第4种情况：奇对称，N为偶数由式（6-1-11）得2,,2,1),2(2)(])21sin[()()(2/1NnnNhndnndHNn（6-1-20）（6-1-21）这种情况不适合做在处为偶对称的滤波器，如低通滤波器。式（6-1-20）表明，当时，，相当于在z=1处有一个零点，并且由于对呈奇对称，对呈偶对称，因而也对呈奇对称，对呈偶对称。2,0)(H0)(H)(zH])2/1sin[(n2,02,02,0表6-1-1给出了上述4种类型的线性相位滤波器的相位相应、时域幅度相应和频域幅度相应的示意图。见课本p2023.线性相位FIR滤波器的零点特性由式（6-1-4）和式（6-1-9）得)()(1)1(zHzzHN若是的零点，由iz)(zH1iz可知，也是的零点。0)()(1)1(iNiizHzzH若h(n)为实数时，H(z)为实系数的多项式，则应是共轭成对的，也是零点。iziz因此对于一个实线性相位FIR滤波器，其零点为相对于单位圆镜像共轭成对。4.IIR滤波器与FIR滤波器的比较FIR滤波器的优点①FIR滤波器能严格做到线性相位或群延时为常数，而IIR滤波器只能逼近线性相位。②FIR滤波器是全零点型滤波器，总是稳定的，不会因滤波运算的舍入误差而产生极限环振荡现象。对同样幅度相应的滤波器，用FIR滤波器实现比用IIR滤波器实现需要较高的节数，多达5~10倍。当滤波器的特性要求较高时，用FIR滤波器来实现，滤波过程需要较多的计算时间。FIR滤波器的主要缺点6.2FIR滤波器的窗函数设计FIR滤波器的设计问题在于寻求一系统函数，使其频率响应逼近滤波器要求的理想频率响应。10)()(NnnznhzHjezjzHeH|)()()(jdeH如果要求FIR滤波器具有线性相位特性，则h(n)必须满足上节所述的对称条件。6.2.1窗函数设计的基本方法1.设计思想：从时域出发，设计h(n)逼近理想hd(n)设理想滤波器的单位脉冲响应为hd(n)，则有deeHnhenheHjnjddjnndjd)(21)()()((6-2-1)(6-2-2)所求得的一般是无限长的，且是非因果的。)(nhd要想得到一个因果的有限长的滤波器h(n)，最直接的方法是截断，或者说用一个窗口函数对进行加窗处理，即)(nhd)(nhd)(nw)()()(nwnhnhd(6-2-3)所以选择窗口函数的形状和长度是窗口函数法的关键。下面以理想低通滤波器为例说明其设计过程设理想低通滤波器的频率响应为，ccajjdeeH0)()(jdeHωc为滤波器的截止频率；a为延时常数相应的单位脉冲响应为deenhccnjajd21)(anananancc)()](sin[是一个以a为对称中心的偶对称的无限长的非因果序列。（6-2-4）（6-2-5）图6-2-1理想低通滤波器的单位脉冲响应及矩形窗截取要得到有限长的h(n),最简单的方法是用一长为N的矩形窗w(n)=RN(n)截断hd(n)。按照线性相位滤波器的要求，h(n)必须是偶对称的，如上图所示。对称中心必须等于滤波器的延时常数，即故有2/)1(Na2/)1()()()(NanRnhnhNd（6-2-6）2.吉布斯（Gibbs）效应因频率响应是单位脉冲响应的傅立叶变换，故可求得矩形窗截取后滤波器的频率响应为jndNnjenheH)()(10上式为有限项，因此N越大，误差就越小，但对于矩形窗截取还存在所谓吉布斯（Gibbs）效应，使得滤波器的特性很差，不能满足实际的需要。下面从频域卷积的角度来分析由矩形窗所求得的滤波器的频率响应。由式deWeHeHjjdj)()(21)()((6-2-7)按复卷积定理有)()()(nnhnhdWeRj()jNjNnjnNjReeenReW11)()(10)2/sin()2/sin(21NeNjjReW)(设矩形窗的频率响应为(6-2-8))2/sin()2/sin()(NWR上式中为矩形窗的幅度响应，如下图所示图6-2-2矩形窗的幅度响应主瓣旁瓣旁瓣Hedj()jdjdeHeH)()(ccdH01)(将理想低通滤波器的频率响应表示为则(6-2-9)deWeHeHjRjdj)()()(21)(dWHeRdj)()(21将(6-2-8)式和(6-2-9)式代入(6-2-7)式，得H())(jeHdWHHRd)()(21)(若用代表所设计的低通滤波器的幅度响应，则有上式说明设计的滤波器的幅度响应是矩形窗函数的幅度响应与理想低通滤波器的幅度响应的卷积。其过程如下图所示。(6-2-10)图6-2-3矩形窗的卷积过程加矩形窗处理后，对理想频率响应产生了两点影响：1）使理想频率特性不连续点ω=ωc处，形成了一个过渡带,过渡带的宽度等于矩形窗的频率响应WR(ω)的主瓣宽度△ω=4π/N；2)在截止频率ωc的两边ω=ωc±2π/N处(即过渡带的两边)，H(ω)出现最大的肩峰值，肩峰的两侧形成起伏振荡，其振荡幅度取决于旁瓣的相对幅度，而振荡的快慢，则取决于WR(ω)波动的快慢。若增加截取长度N，则在主瓣附近的窗的频率响应为WNNNxxR()sin(/)sin(/)sin(/)/sin2222该函数的性质：随着x加大（即N加大），函数曲线波动的频率加快，主瓣幅度加高，旁瓣幅度也同样加高，主瓣与旁瓣的相对比例保持不变。这个相对比例是由sinx/x决定的,也就是说是由矩形窗函数的形状决定的。因而，当长度N增加时，只会减小过渡带宽(4π/N)，而不会改变肩峰的相对值。在矩形窗情况下，最大相对肩峰值为8.95%，N增加时，4π/N减小，起伏振荡变密，但最大肩峰则总是8.95%，这就是吉布斯(Gibbs)效应。wn()hnd()由于窗谱肩峰的存在，影