7第七讲、第二章弹性力学平面问题(9~10).

ZS《RockMassMechanics》ZS《RockMassMechanics》22020/1/12平面问题的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.几何方程（2-9）3.物理方程（平面应力问题）（2-15）4.边界条件位移：（2-17）应力：（2-18）例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：yyx注意：必须按正向假设！xy上端面：（方法2）取图示微元体，可见，与前面结果相同。注意：必须按正向假设！由微元体的平衡求得，ZS《RockMassMechanics》62020/1/12ZS《RockMassMechanics》2020/1/12ZSZS《RockMassMechanics》平面问题的基本方程1.平衡微分方程（2-2）2.几何方程（2-9）3.物理方程（平面应力问题）（2-15）4.边界条件位移：（2-17）应力：（2-18）2、弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与形变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出形变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。3、按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有（2-19）（a）将式(a)代入平衡方程，化简有（2-20）（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：（a）将式（a）代入，得（2-21）（2-17）式（2-20）、（2-17）、（2-21）构成按位移求解问题的基本方程说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。（3）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2-20）（2）边界条件：位移边界条件：（2-17）应力边界条件：（2-21）ZS《RockMassMechanics》2020/1/12ZS1、变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：（2-2）平衡微分方程：2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从形变、形变与应力的关系建立补充方程。将几何方程：（2-9）作如下运算：显然有：（2-22）——形变协调方程（或相容方程）即：必须满足上式才能保证位移分量u、v的存在与协调，才能求得这些位移分量。例：其中：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。2、变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：（2-22）利用平衡方程将上述化简：（2-15）（2-2）（a）将上述两边相加：（b）将(b)代入(a)，得：将上式整理得：（2-23）应力表示的相容方程（2）平面应变情形将上式中的泊松比μ代为：，得（2-24）（平面应力情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：当体力fx、fy为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即（2-25）3、按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（3）边界条件：（2-18）（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。ZS《RockMassMechanics》2020/1/12ZS例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）解（a）（b）（1）将式（a）代入平衡方程：（2-2）——满足将式（a）代入相容方程：∴式（a）不是一组可能的应力场。例8下面给出平面应力问题（单连通域）的应力场和应变场，试分别判断它们是否为可能的应力场与应变场（不计体力）。（1）（2）（a）（b）（2）解将式（b）代入应变表示的相容方程：式（b）满足相容方程，∴（b）为可能的应变分量。例9图示矩形截面悬臂梁，在自由端受集中力P作用，不计体力。试根据材料力学公式，写出弯曲应力和剪应力的表达式，并取挤压应力=0，然后说明这些表达式是否代表正确解。解材料力学解答：式（a）满足平衡方程和相容方程？（a）式（a）是否满足边界条件？代入平衡微分方程：（2-2）显然，平衡微分方程满足。式（a）满足相容方程。再验证，式（a）是否满足边界条件？——满足——满足——近似满足近似满足结论：式（a）为正确解代入相容方程：0上、下侧边界：右侧边界：左侧边界：例7图示矩形截面水坝，其右侧受静水压力，顶部受集中力作用。试写出水坝的应力边界条件。左侧面：代入应力边界条件公式右侧面：代入应力边界条件公式，有上端面：为次要边界，可由圣维南原理求解。y方向力等效：对O点的力矩等效：x方向力等效：yyx注意：必须按正向假设！ZS《RockMassMechanics》2020/1/12ZS1、常体力下平面问题的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子则相容方程可表示为：——平面应力情形——平面应变情形当体力X、Y为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即或（2-25）2、常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程（2-2）（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件（2-18）（4）位移单值条件——对多连通问题而言。讨论：（1）——Laplace方程，或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含E、μ（a）两种平面问题，计算结果相同）不同。（但（b）不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。——光弹性实验原理。（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。满足：的函数称为调和函数（解析函数）。3、常体力下体力与面力的变换平衡方程:相容方程:边界条件:令：常体力下，满足的方程：(a)将式(b)代入平衡方程、相容方程、边界条件，有(b)(c)(c)表明：（1）变换后的平衡方程、相容方程均为齐次方程（容易求解）；（2）变换后问题的边界面力改变为：结论：当体力X=常数，Y=常数时，可先求解无体力而面力为：问题的解：，而原问题的解为：ZS《RockMassMechanics》2020/1/12ZSxyxy例10：pFABCDEhh(a)图示深梁在重力作用下的应力分析。原问题：体力：边界面力：所求应力：ABCFDEhh(b)ph2ph变换后的问题：体力：边界面力：(1)当y=0时，(2)当y=–h时，(3)当y=–2h时，所求得的应力：原问题的应力常体力下体力与面力转换的优点（好处）：原问题的求解方程变换后问题的求解方程常体力问题无体力问题作用：(1)方便分析计算（齐次方程易求解）。(2)实验测试时，一般体力不易施加，可用加面力的方法替代加体力。注意：面力变换公式：与坐标系的选取有关，因此，适当选取坐标系，可使面力表达式简单。2.平面问题的基本方程：（1）平衡方程：（2-2）（2）几何方程：（2-9）——位移边界条件（4）边界条件：（1）（2）——应力边界条件（3）物理方程：（2-15）——平面应力问题3.平面问题一点的应力、应变分析(b)主应力与应力主向（2-7）（2-8）(c)最大、最小剪应力及其方向τmax、τmin的方向与σ1（σ2）成45°。(a)任意斜面上应力或4.圣维南原理的应用（d）任意斜方向的线应变（2-11）（e）一点任意两线段夹角的改变（2-12）若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。注意事项：(1)必须满足静力等效条件；(2)只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。P次要边界5.平面问题的求解方法：（2-17）——位移边界条件（2-21）——应力边界条件（1）按位移求解基本方程（2-20）——平衡方程（2）按应力求解平面问题的基本方程（2-22）——形变协调方程（或相容方程）相容方程（2-23）（平面应力情形）应力表示的相容方程（2-24）（平面应变情形）（2-25）（体力fx、fy为常数情形）（1）平衡方程（2-2）（3）边界条件：（2-18）（2）相容方程（形变协调方程）（2-23）（平面应力情形）按应力求解的基本方程常体力下可以简化：求解方法？（两种平面问题形式相同）（1）体力X、Y转化为面力处理。（2）ZS《RockMassMechanics》2020/1/12ZS常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程，其解：全解=齐次方程通解1、平衡微分方程解的形式(1)特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)的齐次方程：(c)(d)的通解。将式(d)第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数A(x,y)，使得(e)(f)同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式(f)与(h)，有也必存在一函数B(x,y)，使得(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解。由微分方程理论，必存在一函数φ(x,y)，使得(i)(j)将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式(f)与(h)，有也必存在一函数B(x,y)，使得由微分方程理论，必存在一函数φ(x,y)，使得(k)(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解：(k)——对应于平衡微分方程的齐次方程通解。(3)全解取特解为：则其全解为：(2-26)——常体力下平衡方程（a）的全解。由式（2-26）看：不管φ(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。φ(x,y)——平面问题的应力函数——Airy应力函数2、相容方程的应力函数表示(2-26)将式（2-26）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：注意到体力fx、fy为常量，有将上式展开，有(2-27)——应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。2、相容方程的应力函数表示将式（2-26）代入常体力下的相容方程：(2-25)有：注意到体力fx、fy为常量，有将上式展开，有(2-27)——应力函数表示的相容方程给出了应力函数满足的条件。式（2-27）可简记为：或：式中：满足方程(2-27)的函数φ(x,y)称为重调和函数（或双调和函数）结论：应力函数φ应为一重调和函数按应力求解平面问题（fx=常量、fy=常量）的归结为：（1）(2-27)（2）然后将代入式（2-26）求出应力分量：先由方程（2-27）求出应力函数：(2-26)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。3.应力函数求解方法),(yx(2-28)（无体力情形）3.应力函数求解方法),(yx（1）逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（2-27）的φ(x,y)的形式；（2）——主要适用于简单边界条件的问题。然后利用应力分量计算式（2-26），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-18），来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。（2）半逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（2-26）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。ZS《RockMassMechanics》2020/1/12ZS1.两类平面问题：平面应力问题；平面应变问题。（两类平面问题中