高中必修四向量知识点总结及高考题型总结

1向量的知识点与高考应用及题型融合一,向量重要结论、及基础知识点公式总结（1）、向量的数量积定义：||||cosabab规定00a，22||aaaa新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（2）、向量夹角公式：a与b的夹角为，则cos||||abab（3）、向量共线的充要条件：b与非零向量a共线存在惟一的R，使ba。（4）、两向量平行的充要条件：向量11(,)axy,22(,)bxy平行12210xyxy（5）、两向量垂直的充要条件：向量ab0ab12120xxyy（6）、向量不等式：||||||abab，||||||abab（7）、向量的坐标运算：向量11(,)axy,22(,)bxy，则ab1212xxyy（8）、向量的投影：︱b︱cos=||aba∈R，称为向量b在a方向上的投影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆投影的绝对值称为射影新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（9）、向量：既有大小又有方向的量。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。相等向量：长度相等且方向相同的向量。（10）、零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆零向量a＝0｜a｜＝0奎屯王新敞新疆由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别）（11）、单位向量：模为1个单位长度的向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆向量0a为单位向量｜0a｜＝1奎屯王新敞新疆（12）、平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆任意一组平行向量都可以移到同一直线上新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆方向相同或相反的向量，称为平行向量奎屯王新敞新疆记作a∥b奎屯王新敞新疆由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量奎屯王新敞新疆注：解析几何与向量综合时可能出现的向量内容：（1）给出直线的方向向量ku,1或nmu,，要会求出直线的斜率；（2）给出OBOA与AB相交,等于已知OBOA过AB的中点;（3）给出0PNPM,等于已知P是MN的中点;（4）给出BQBPAQAP,等于已知QP,与AB的中点三点共线;（5）给出以下情形之一：①ACAB//；②存在实数,ABAC使；③若存在实数,,1,OCOAOB且使,等于已知CBA,,三点共线.（6）给出1OBOAOP，等于已知P是AB的定比分点，为定比，即PBAP（7）给出0MBMA,等于已知MBMA,即AMB是直角,给出0mMBMA,等于已知AMB是钝角,给出0mMBMA,等于已知AMB是锐角。（8）给出MPMBMBMAMA,等于已知MP是AMB的平分线/（9）在平行四边形ABCD中，给出0)()(ADABADAB，等于已知ABCD是菱形;（10）在平行四边形ABCD中，给出||||ABADABAD，等于已知ABCD是矩形;（11）在ABC中，给出222OCOBOA，等于已知O是ABC的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在ABC中，给出0OCOBOA，等于已知O是ABC的重心（三角形的重心是三角形三条2中线的交点）；（13）在ABC中，给出OAOCOCOBOBOA，等于已知O是ABC的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在ABC中，给出OAOP()||||ABACABAC)(R等于已知AP通过ABC的内心；（15）在ABC中，给出,0OCcOBbOAa等于已知O是ABC的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在ABC中，给出12ADABAC,等于已知AD是ABC中BC边的中线。（17）如果21,ee是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数21,使：2211eea，其中不共线的向量21,ee叫做表示这一平面内所有向量的一组基底新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（18）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（19）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆（20）1.结合律不成立：abcabc；2.消去律不成立abac不能得到bc3.ab=0不能得到a=0或b=0新疆源头学子小屋特级教师王新敞@[e-mail]王新敞特级教师源头学子小屋新疆1、向量与三角函数的结合向量与三角函数结合，题目新颖而精巧，既符合在知识的“交汇处”构题，又加强了对双基的考查1.（江西18）．已知向量baxfxxbxxa)()),42tan(),42sin(2()),42tan(,2cos2(令.是否存在实数?))()((0)()(],,0[的导函数是其中使xfxfxfxfx若存在，则求出x的值；若不存在，则证明之.解：)42tan()42tan()42sin(2cos22)(xxxxbaxf12cos22cos2sin22tan112tan2tan12tan1)2cos222sin22(2cos222xxxxxxxxxx.cossinxxxxxxxfxfxfxfsincoscossin)()(:,0)()(即令.0cos2x.0)()(],,0[2,2xfxfxx使所以存在实数可得32．已知向量(cos,sin)m和2sin,cos,,2n，且82,5mn求cos28的值.分析：考查知识点：（三角和向量相结合）解:cossin2,cossinmn22cossin2(cossin)mn=422(cossin)=44cos4=21cos4由已知82,5mn,得7cos425又2cos2cos()1428216cos()2825,2598288cos0284cos2853.（2009上海卷文）（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量(,)mab，(sin,sin)nBA，(2,2)pba.（1）若m//n，求证：ΔABC为等腰三角形；（2）若m⊥p，边长c=2，角C=3，求ΔABC的面积.证明：（1）//,sinsin,mnaAbBuvvQ即22ababRR，其中R是三角形ABC外接圆半径，abw.w.w.k.s.5.u.c.o.mABC为等腰三角形解（2）由题意可知//0,(2)(2)0mpabbauvuv即abab由余弦定理可知，2224()3abababab2()340abab即4(1)abab舍去w.w.w.k.s.5.u.c.o.m11sin4sin3223SabC2、与函数的结合向量与函数的结合，是以向量为载体来考查函数，所以本质上仍然是函数题4.已知集合M={1,2,3},N={1,2,3,4}.定义函数4))3(,3()),2(,2()),1(,1(.:fCfBfANMf若点若三角形ABC的外接圆圆心为D,且)(DBDCRDA则满足条件的函数f(x)有（）A6个B10个C12个D16个5.（湖北理17）．已知向量baxftxbxxa)(),,1(),1,(2若函数在区间（－1，1）上是增函数，求t的取值范围.分析：本小题主要考查平面向量数量积的计算方法、利用导数研究函数的单调性，以及运用基本函数的性质分析和解决问题的能力。解法1：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.23)(2txxxf则.0)()1,1(,)1,1()(xfxf上可设则在上是增函数在若,31)(,23)(,)1,1(,230)(22xxgxxxgxxtxf的图象是对称轴为由于考虑函数上恒成立在区间开口向上的抛物线，故要使xxt232在区间（－1，1）上恒成立.5),1(tgt即.)1,1()(,0)()1,1()(,5上是增函数在即上满足在时而当xfxfxft5tt的取值范围是故.解法2：依定义,)1()1()(232ttxxxxtxxxf.0)()1,1(,)1,1()(.23)(2xfxftxxxf上可设则在上是增函数在若)(xf的图象是开口向下的抛物线，时且当且仅当05)1(,01)1(tftf.5.)1,1()(,0)()1,1()(ttxfxfxf的取值范围是故上是增函数在即上满足在3、与解析几何的结合