高中数学专题系列--三角函数讲义

素诚教育高中数学素质、诚实———————————————————————————————————————————————————用常识提升知识，以教养凸显文化。素诚教育1SCE金牌数学专题系列§1.1.1、任意角1、正角、负角、零角、象限角的概念.2、与角终边相同的角的集合：Zkk,2.§1.1.2、弧度制1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.2、rl.3、弧长公式：RRnl180.4、扇形面积公式：lRRnS213602.§1.2.1、任意角的三角函数1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点yxP,，那么：xyxytan,cos,sin2、设点,Axy为角终边上任意一点，那么：（设22rxy）sinyr，cosxr，tanyx，cotxy3、sin，cos，tan在四个象限的符号和三角函数线的画法.正弦线：MP;余弦线：OM;正切线：AT5、特殊角0°，30°45°，60°，90°，180°，270等的三角函数值.064322334322sincostan§1.2.2、同角三角函数的基本关系式1、平方关系：1cossin222、商数关系：cossintan.3、倒数关系：tancot1专题：三角函数TMAOPxy素诚教育高中数学素质、诚实———————————————————————————————————————————————————用常识提升知识，以教养凸显文化。素诚教育2§1.3、三角函数的诱导公式（概括为“奇变偶不变，符号看象限”Zk）1、诱导公式一：.tan2tan,cos2cos,sin2sinkkk（其中：Zk）2、诱导公式二：.tantan,coscos,sinsin3、诱导公式三：.tantan,coscos,sinsin4、诱导公式四：.tantan,coscos,sinsin5、诱导公式五：.sin2cos,cos2sin6、诱导公式六：.sin2cos,cos2sin§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质1、记住正弦、余弦函数图象：2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.3、会用五点法作图.sinyx在[0,2]x上的五个关键点为：30010-12022（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.1-1y=cosx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx1-1y=sinx-32-52-727252322-2-4-3-2432-oyx素诚教育高中数学素质、诚实———————————————————————————————————————————————————用常识提升知识，以教养凸显文化。素诚教育3y=tanx322-32--2oyxy=cotx3222--2oyx图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质xysinxycosxytan图象定义域RR},2|{Zkkxx值域[-1,1][-1,1]R最值maxmin2,122,12xkkZyxkkZy时，时，maxmin2,12,1xkkZyxkkZy时，时，无周期性2T2TT奇偶性奇偶奇单调性Zk在[2,2]22kk上单调递增在3[2,2]22kk上单调递减在[2,2]kk上单调递增在[2,2]kk上单调递减在(,)22kk上单调递增对称性Zk对称轴方程：2xk对称中心(,0)k对称轴方程：xk对称中心(,0)2k无对称轴对称中心,0)(2k§1.4.3、正切函数的图象与性质1、记住正切函数的图象2、记住余切函数的图象：3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.素诚教育高中数学素质、诚实———————————————————————————————————————————————————用常识提升知识，以教养凸显文化。素诚教育4§1.5、函数xAysin的图象1、对于函数：sin0,0yAxBA有：振幅A，周期2T，初相，相位x，频率21Tf.2、能够讲出函数xysin的图象与sinyAxB的图象之间的平移伸缩变换关系.①先平移后伸缩：sinyx平移||个单位sinyx（左加右减）横坐标不变sinyAx纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变sinyAx横坐标变为原来的1||倍平移||B个单位sinyAxB（上加下减）②先伸缩后平移：sinyx横坐标不变sinyAx纵坐标变为原来的A倍纵坐标不变sinyAx横坐标变为原来的1||倍平移个单位sinyAx（左加右减）平移||B个单位sinyAxB（上加下减）3、三角函数的周期，对称轴和对称中心函数sin()yx，x∈R及函数cos()yx，x∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期2||T；函数tan()yx，,2xkkZ(A,ω,为常数，且A≠0)的周期||T.对于sin()yAx和cos()yAx来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.求函数sin()yAx图像的对称轴与对称中心，只需令()2xkkZ与()xkkZ解出x即可.余弦函数可与正弦函数类比可得.4、由图像确定三角函数的解析式利用图像特征：maxmin2yyA，maxmin2yyB.要根据周期来求,要用图像的关键点来求.§1.6、三角函数模型的简单应用（要求熟悉课本例题.）素诚教育高中数学素质、诚实———————————————————————————————————————————————————用常识提升知识，以教养凸显文化。素诚教育5§3.1.1、两角差的余弦公式记住15°的三角函数值：sincostan1242642632§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式1、sincoscossinsin2、sincoscossinsin3、sinsincoscoscos4、sinsincoscoscos5、tantan1tantantan.6、tantan1tantantan.§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式1、cossin22sin，2、22sincos2cos变形：12sincossin2.1cos222sin21.升幂公式：221cos22cos1cos22sin降幂公式：221cos(1cos2)21sin(1cos2)23、2tan1tan22tan.4、sin21cos2tan1cos2sin2§3.2、简单的三角恒等变换1、注意正切化弦、平方降次.2、辅助角公式)sin(cossin22xbaxbxay（其中辅助角所在象限由点(,)ab的象限决定,tanba).素诚教育高中数学素质、诚实———————————————————————————————————————————————————用常识提升知识，以教养凸显文化。素诚教育6解三角形1、正弦定理：RCcBbAa2sinsinsin.（其中R为ABC外接圆的半径）2sin,2sin,2sin;aRAbRBcRCsin,sin,sin;222abcABCRRR::sin:sin:sin.abcABC用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。2、余弦定理：2222222222cos,2cos,2cos.abcbcAbacacBcababC222222222cos,2cos,2cos.2bcaAbcacbBacabcCab用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；⑵已知三角形三边，求其它元素。做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：BacAbcCabSABCsin21sin21sin214、三角形内角和定理：在△ABC中，有()ABCCAB222CAB222()CAB.5、一个常用结论：在ABC中，sinsin;abABAB若sin2sin2,.2ABABAB则或特别注意，在三角函数中，sinsinABAB不成立。素诚教育高中数学素质、诚实———————————————————————————————————————————————————用常识提升知识，以教养凸显文化。素诚教育7链接高考一、选择题1.【2012高考安徽文7】要得到函数)12cos(xy的图象，只要将函数xy2cos的图象（A）向左平移1个单位（B）向右平移1个单位（C）向左平移12个单位（D）向右平移12个单位2.【2012高考新课标文9】已知ω0，0，直线4x和45x是函数f(x)=sin(ωx+φ)图像的两条相邻的对称轴，则φ=（A）π4（B）π3（C）π2（D）3π43.【2012高考山东文8】函数2sin(09)63xyx的最大值与最小值之和为(A)23(B)0(C)－1(D)134.【2012高考全国文3】若函数()sin([0,2])3xfx是偶函数，则（A）2（B）32（C）23（D）355.【2012高考全国文4】已知为第二象限角，3sin5，则sin2（A）2524（B）2512（C）2512（D）25246.【2012高考重庆文5】sin47sin17cos30cos17（A）32（B）12（C）12（D）327.【2012高考浙江文6】把函数y=cos2x+1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），素诚教育高中数学素质、诚实———————————————————————————————————————————————————用常识提升知识，以教养凸显文化。素诚教育8然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图像是8.【2012高考上海文17】在△ABC中，若222sinsinsinABC，则△ABC的形状是（）A、钝角三角形B、直角三角形C、锐角三角形D、不能确定9.【2012高考四川文5】如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使1AE，连接EC、ED则sinCED（）（1）31010B、1010C、510D、51510.【2012高考辽宁文6】已知sincos2，(0，π)，则sin2=(A)1(B)22(C)22(D)111.【2012高考江西文4】若sincos1sincos2，则tan2α=A.-34B.34C.-43D.4312.【2012高考江西文9】已知2()sin()4fxx若a=f（l