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分数:___________任课教师签字:___________华北电力大学研究生结课作业学年学期:2014-2015学年第一学期课程名称:线性系统理论学生姓名:学号:提交时间:2014年11月27日目录1.绪论..............................................................12.球杆系统分析与建模................................................12.1球杆模型简介.................................................12.2拉格朗日法建模...............................................12.3拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取.......................43.系统稳定性分析...................................................53.1有初始状态下求取系统响应曲线.................................63.3稳定性判断并求取零极点分布图.................................74.系统能控性判别....................................................84.1代数判据.....................................................84.2模态判据.....................................................84.3可控性与可稳定性............................................105.系统极点配置.....................................................105.1极点配置方法................................................105.1.1状态反馈原理..........................................115.1.2输出反馈原理..........................................115.1.3PID配置极点原理.......................................125.1.4三种反馈对比..........................................125.2.用状态反馈进行极点配置.....................................126.可观性分析及带状态反馈的状态观测器的设计.........................166.1能观性分析..................................................166.1.1代数判据..............................................166.1.2模态判据..............................................166.3全维观测器原理..............................................176.4全维状态观测器结构..........................................176.5全维状态观测器设计..........................................186.6全维状态观测器Simulink仿真.................................186.7全维状态观测器在干扰下的性能研究............................207.总结.............................................................2211.绪论球杆系统是控制理论中很经典的一个模型,通常用来检验控制策略的效果,并且很多实际系统都可以近似抽象为球杆模型,因此,对球杆系统的研究很有意义,本文从球杆模型的拉格朗日法建模入手,对球杆系统稳定性,能控能观性等控制特性进行分析。2.球杆系统分析与建模2.1球杆模型简介球杆系统由底座,直流伺服电机,光滑导轨,小球等组成,导轨在伺服电机的带动下转动,小球在自身重力的作用下沿着光滑的金属导轨自由滚动,球杆系统简图如下,其中x是小球在导轨上相对于导轨中心的位移量,以导轨左侧为正,是导轨相对于水平线的倾斜角。图1.球杆系统简图2.2拉格朗日法建模为了对球杆系统进行研究,我们先对其进行建模,一般来说,这种球杆系统,运用拉格朗日方程建立其数学模型比较方便,拉格朗日方程如下:tUqRqVqTqTdtd''其中T为系统的动能,包括小球的转动的动能,导轨转动的动能等,V为系统的势能,包括重力势能弹性势能等等,能量耗散函数为R,Tkqqqq....,212为广义坐标向量,其中k代表系统的自由度,即完全描述系统运动特性需要的坐标数目,关于自由度在下文会具体分析,u为作用于系统的外力。以下为各个变量所表示的物理意义,M:导轨的质量,g:重力加速度r:小球的半径bI:球的惯性力矩,wI:杆的惯性力矩,x:球的相对横坐标,y:球的相对纵坐标,:小球相对于导轨的转角,a:导轨与水平线的夹角,球杆系统受力分析如下:图1.球杆受力分析由图可知,小球的广义坐标向量有3个,即是小球坐标x,小球转动角,杆的转角,而小球的速度和导轨转动的角速度可以用x和a来表达,因此,通过这三个变量,就能完全描述系统的各个状态,但是在实际中,由于小球是沿着导轨只做滚动不做滑动的,因此就有Rx,也就是说小球的转动角和小球位移是一一对应的,那么转动角就可以和x合并到一起分析,这样球杆系统有两个广义坐标xq1,aq2。要想计算系统的动能,就必须知道小球和导轨的转动惯量,根据资料得小球和导轨的转动惯量如下:2521032.452kgmmRIb21402.0kgmIw导轨是一个重心在重心的均匀旋转体,其角速度为a,因此,导轨的动能为:221aITww而小球的动能包括两部分,第一部分是小球沿着导轨运动的动能,用221mv3来计算,第二部分是小球的旋转动能,用小球的转动惯量和角速度来计算,公式如下:222121mvITbbb其中,小球的转动角速度b要考虑到导轨的运动,因此要加上导轨的角速度aaRxb22222aRaxRxb因为导轨转动角速度a速度很小,因此忽略后两项得:222Rxb而式中v是小球的线速度,根据资料可以用向量积来表示:rwvv'其中'v是小球相对于导轨的线速度,其数值等于x,负号是指方向与规定的正方向相反,指的是导轨的角速度,即a,r是小球的质心在坐标系中的位置向量,计算式如下:000000axRaxRxaxv由于小球的半径R很小,同时导轨转动的角速度a也很小,因此上式可以近似等于:0axxv42222axxv将以上结果带入小球动能计算公式中,得小球的动能为:222221RxIaxxmTbb而前文已经得出导轨的动能wT,因此两式相加得系统的动能T为:2222221aIRxIaxxmTTTwbwb而系统的势能为小球的重力势能,以导轨水平位置为零点,得势能V为:amgxVsin以上,系统的动能和势能均已求出,下面带入拉格朗日方程进行求解,由于篇幅原因,推导过程在本文中不再赘述,带入拉格朗日方程后得到关于导轨倾角的拉格朗日方程为:amgxaxmxaImxwcos22小球坐标x的运动方程为:amgamxxRImbsin22球杆系统的运动方程为:amamxaxRImbsin'22amgxaxmxaImxwcos222.3拉格朗日模型线性化及状态空间表达式求取以上为通过拉格朗日方法建立起来的系统运动方程,但是由于运动方程存在非线性环节,无法直接转化为状态空间表达式,需要通过在稳定工作点附近做近似线性化处理来消除,根据实际情况来说,我们一般考虑的是小球在一个确定点附近的稳定性,假设这个点为0x,那么这个点就是系统的静态工作点,动能计算5式中2mx项可以近似认为是20mx,因此2mx就可以近似认为是常数,运动方程中的相关倒数项就消失了,因此运动方程近似为:amgxRImbsin2amgxaImxwcos2进一步进行简化,由于导轨倾角a一般较小,因此近似取aasin,1cosa,得到最终的运动方程为:mgaxRImb2mgxaImxw2根据资料,小球半径mR01899.0、小球质量kgm03.0选取状态变量xx1,xx2,ax3,ax4,带入参数即得到以下状态空间表达式:FXXXXXXXX495.3000000873.181000070000104321.4.3.2.143212101000001XXXXYY3.系统稳定性分析系统的稳定性是系统的根本特性,一个不稳定的系统几乎是无法使用的,为了分析一个系统,首先应该分析其稳定性,根据常识,球杆系统在不给予控制时是不稳定的,因为当导轨的倾角是固定时,小球将会在重力的作用下一直运动到6导轨底部,即使导轨停留在水平位置时,小球可能处于静止状态,但是当导轨受到一个微小的扰动后,小球就无法回到原来的位置了。如果导轨既不是固定倾角,又不是水平状态,而是无规律摆动的话,那么小球更不可能稳定在一个位置,要使小球能够停在任意位置,必须对导轨的倾角施加控制,下面通过Matlab来分析系统在有初始条件下的稳定性。3.1有初始状态下求取系统响应曲线设置小球初始位移为0.5,导轨初始倾角为5°,进行仿真,程序如下:A=[0100;0070;0001;18.873000];B=[0003.495]';C=[1000;0010];D=0;T=0:0.005:10;U=zeros(size(T));X0=[0.5050];lsim(A,B,C,D,U,T,X0);响应曲线如下:图3.有初始状态响应曲线由上图可以看出,小球的位移和导轨的倾角在9秒钟以后都开始发散,从实际情况来说,因为小球有初始位置,导轨也有初始倾角,那么小球必然在重力的作用下加速下滚,而导轨的倾角也将越来越大,在一段时间后,小球的位置和导轨的倾角都将发散,这也从侧面说明所建模型是合理的。73.3稳定性判断并求取零极点分布图以上的分析是根据常识分析的,下面,通过严格的判断方法来分析系统的稳定性,系统稳定性分为外部稳定和内部稳定,外部稳定是指输入和输出之间的关系,由系统传递函数分母的特征根决定,但是当系统不稳定的极点对消时,有可能出现假稳定的情况,而内部稳定是指系统内部变量能够趋于稳定,而由内部稳定可以推出外部稳定,反之则不行,因此现在只判断内部稳定,内部稳定的充要条件是特征矩阵的所有特征根具有负的实部,这样系统的能量就逐渐减小,最终达到稳定条件,如果特征值有正的实部,那么
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