2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(二)

第1页共3页2013中考数学压轴题一元二次方程精选解析(二)例4．请阅读下列材料：问题：已知方程x2＋x－1＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．解：设所求方程的根为y，则y＝2x，所以x＝y2．把x＝y2代入已知方程，得(y2)2＋y2－1＝0．[来源:学§科§网Z§X§X§K]化简，得y2＋2y－4＝0．故所求方程为y2＋2y－4＝0．[来源:学科网]这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．请用阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）；（1）已知方程x2＋x－2＝0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：___________________；（2）已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的倒数．解析：（1）y2－y－2＝0···················································································2分（2）设所求方程的根为y，则y＝1x（x≠0），于是x＝1y（y≠0）···················3分把x＝1y代入方程ax2＋bx＋c＝0，得a(1y)2＋b·1y＋c＝0·······················4分去分母，得a＋by＋cy2＝0·······························································5分若c＝0，有ax2＋bx＝0，于是方程ax2＋bx＋c＝0有一个根为0，不符合题意∴c≠0，故所求方程为cy2＋by＋a＝0（c≠0）·····································6分例5．已知关于x的一元二次方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0，且a＞b＞c＞0．（1）若方程有实数根，求证：a，b，c不能构成一个三角形的三边长；[来源:Zxxk.Com]（2）若方程有实数根x0，求证：b＋c＜x0＜a；（3）若方程的实数根为6和9，求正整数a，b，c的值．解析：（1）∵方程有实数根，∴△＝(a＋b＋c)2－4(ab＋bc＋ca)≥0∴a2＋b2＋c2－2ab－2bc－2ca≥0∴a(a－b－c)－b(a＋c－b)－c(a＋b－c)≥0[来源:Z*xx*k.Com]∴0≤a(a－b－c)－b(a＋c－b)－c(a＋b－c)＜a(a－b－c)∵a＞0，∴a－b－c＞0，即a＞b＋c第2页共3页∴a，b，c不能构成一个三角形的三边长········································4分（2）设y＝x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca则当x＝b＋c时，y＝bc＞0；当x＝a时，y＝bc＞0函数y＝x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca图象的顶点坐标为（a＋b＋c2，－△4）当x＝a＋b＋c2时，y＝－△4≤0由（1）知a＞b＋c，∴b＋c＜a＋b＋c2＜a∴方程的实数根在b＋c与a之间，即b＋c＜x0＜a····························7分（3）∵方程x2－(a＋b＋c)x＋ab＋bc＋ca＝0的实数根为6和9∴a＋b＋c＝6＋9＝15，ab＋bc＋ca＝6×9＝54∴a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝152－2×54＝117＜112由（2）知a＞9，∴92＜a2＜112∵a为正整数，∴a＝10·······························································8分∴b＋c＝5，∴10b＋bc＋10c＝54∴bc＝54－10(b＋c)＝54－10×5＝4由b＋c＝5，bc＝4及b＞c，解得b＝4，c＝1································10分例6．已知方程x2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根，方程x2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根，且其两根介于方程x2＋2ax＋a－4＝0的两根之间，求k的取值范围．解析：∵方程x2＋2ax＋a－4＝0有两个不同的实数根∴△1＞0，而△1＝4a2－4(a－4)＝4(a－12)2＋15≥15······························1分又∵方程x2＋2ax＋k＝0也有两个不同的实数根∴△2＝4a2－4k＞0，即k＜a2·······················································3分[来源:学科网ZXXK]对于二次函数y1＝x2＋2ax＋a－4和y2＝x2＋2ax＋k，它们的对称轴相同，且与x轴都有两个不同的交点∵y2与x轴的两个交点都在y1与x轴的两个交点之间∴y2与y轴的交点在y1与y轴的交点上方，如图····································4分∴k＞a－4······················································································5分∴k的取值范围是：a－4＜k＜a2·························································6分Oxy（0，k）（0，a－4）y2y1第3页共3页