3.4-行列式的计算

3.2行列式的性质3.3行列式与矩阵的逆3.4行列式的计算3.5行列式与矩阵的秩3.1n阶行列式的概念第3章行列式3.4行列式的计算3.4.1降阶法内容小结3.4.2三角化方法3.4.3归纳法3.4.4递推法3.4.5分拆法3.4.6升阶法行列式的计算3/29行列式计算常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等.行列式计算的理论根据:行列式的按行(列)展开法则行列式初等变换的性质行列式乘积法则行列式的计算4/29例3.9计算四阶行列式613325332731117||41319A.3.4.1降阶法应用初等变换使行列式的某行或某列的零元充分多,然后按该行或该列展开,化为低阶行列式来计算.415cc行列式的计算5/294156132533231124131||ccA解421,2,31439013590113504131irri441439(1)(1)1359113523143921121135rr123214110111921120817rrrr211119(1)(2)81770.行列式的计算6/29解将|A|按第n行展开,得||xyxyxyyxΑ.例3.10计算n阶行列式11|(1)|nnyxyyxyxyΑ11(1)nnyy()nnxy.1(1)nnnxyxyxxyx1(1)nnnxx行列式的计算7/29例3.11计算n阶行列式||abbbbabbbbabbbbaA.解将第2,3,,n列都加到第一列得3.4.2三角化方法利用行列式的初等变换将其化为三角行列式.行列式的计算8/29(1)||(1)(1)(1)anbbbbanbabbanbbabanbbbaA11[(1)]11bbbabbanbbabbba12,3,,irrin行列式的计算9/2912,3,,1[(1)]irrinbbbabanbabab1[(1)]()nanbab.行列式的计算10/29例3.12计算121212||nnnabaaaabaaaabA.解先把第一行乘以(1)加到以下各行,再把后面各列加到第一列.1220000nnaaabaabb112()nnaaabb.120||0nabaabbbbA行列式的计算11/293.4.3归纳法通过计算低阶行列式,发现某种规律,进而猜想k阶行列式符合这种规律,然后证明k1阶行列式也呈现此规律,这就是数学归纳法的思想.行列式的计算12/29证对行列式的阶数n用数学归纳法.21211Vxx21xx12(),ijjixx例3.13证明Vandermonde行列式1222212111112111()nnnijjinnnnnxxxVxxxxxxxx.因为所以n2时,等式成立.行列式的计算13/29112131122133112222213311,1,,2111100()()()0()()()iinrxrnnnnninnnnnxxxxxxVxxxxxxxxxxxxxxxxxx假设等式对n1阶Vandermonde行列式Vn1成立,232131122223111()()(),nnnnnnxxxxxxxxxxxxn1阶Vandermonde行列式则行列式的计算14/29213112()()()()nnijjinVxxxxxxxx1(),ijjinxx因此由归纳法假设得所以等式对所有n2都成立.行列式的计算15/293.4.4递推法利用按行(列)展开法则,将n阶行列式化成形式相同的n1阶行列式,从而建立递推关系,反复应用这个递推关系便可求出n阶行列式.行列式的计算16/29例3.14计算111nababababDababab.解将Dn按第一行展开,得11()1nnababababDabab=110,1nabababababDn1Dn2行列式的计算17/2912(),nnnDabDabD从而112()nnnnDaDbDaD因2212,,DabDaabb222321()(),nnnbDaDbDaD故1nnnDaDb.再把第二个行列式按第一列展开,得3,4,,n行列式的计算18/291nnnDaDb212nnnaDabb32213nnnnaDababb12211nnnnaDababb12()nnnaaDbb1221nnnnnaabababb.于是行列式的计算19/293.4.5分拆法分拆法是指利用行列式的性质将复杂的行列式分解为简单的行列式之和或之积.nxyyyzxyyDzzxyzzzx.例3.15计算n阶行列式解先将Dn的最后一行拆开,得行列式的计算20/29nxyyyzxyyDzzxyzzzz000xyyyzxyyzzxyxz1()nzxy将y与z互换,行列式Dn不变,11()(),nnnDyxzxyD从而1()nxzD.行列式的计算21/29当zy时,解得()()nnnzxyyxzDzy.当zy时,由例3.11的结果知1[(1)]()nnDxnyxy.行列式的计算22/29解细心观察可以发现,当n3时,有例3.16计算行列式2112122122212|111111111|nnnnnaaaaaaaaaaaaaaaΑ.=行列式的计算23/291212111111nnaaaaaaΑ=1212100111100,000100000nnaaaaaa从而当n3时,A0.行列式的计算24/2921|1|aΑ.21122212|1111|aaaaaaΑ=当n1时,显然当n2时,有212()aa.行列式的计算25/293.4.6升阶法为便于应用行列式的性质,有时在原来的行列式中添加一行一列,即把行列式的阶数增加1,这就是升阶法.升阶必须给计算带来方便,而且要求升阶后的行列式与原来的行列式相等.升阶法也叫加边法.行列式的计算26/29解将行列式升阶,得13131321111102222222,03333336|0|nnnnnnnnnnnnnnnΑ=1313132222222233333||36nnnnnnnnnnnnnnΑ=.例3.17计算行列式的计算27/29将新行列式的第二列依次与第3,4,,n列交换,再将新行列式第二列依次与第3,4,,n1列交换,再将新行列式第二列依次与第3,4,,n2列交换,,得将新行列式第一行乘i加到第i行,得13213213211111222223333|3|nnnnnnnnnnnΑ=1221221221111112222!133331nnnnnnnnnnn.行列式的计算28/29221(1)(2)22122211111112222(1)!133331nnnnnnnnnnnnn(1)(2)21(1)!nnnkk.转置的Vandermonde行列式将新行列式第一行的元乘i加到第i行,得13213213211111222223333|3|nnnnnnnnnnnΑ=1221221221111112222!133331nnnnnnnnnnn行列式的计算29/29内容小结行列式计算常用方法有:降阶法、三角化方法、归纳法、递推法、分拆法、升阶法等.