3.5-行列式与矩阵的秩

3.2行列式的性质3.3行列式与矩阵的逆3.4行列式的计算3.5行列式与矩阵的秩3.1n阶行列式的概念第3章行列式3.5行列式与矩阵的秩3.5.1矩阵的子式与秩3.5.2矩阵秩的性质内容小结行列式与矩阵的秩3/19在mn矩阵A中任意选定k行和k列,位于这些选定的行和列交叉处的k2个元按原来的相对位置所组成的k阶行列式,称为A的一个k阶子式.在A中选定第i1,i2,,ik行和第i1,i2,,ik列所构成的k阶子式称为A的一个k阶主子式.A的前k行k列元构成的k阶主子式称为A的k阶顺序主子式.3.5.1矩阵的子式与秩行列式与矩阵的秩4/19例如在矩阵12345234163412741238A中,选定第一、三行和第二、四列,2442A的三阶顺序主子式为12323434112.组成的二阶子式为4.行列式与矩阵的秩5/19假如阶梯矩阵A有r个非零行,那么A的秩等于r,A有一个r阶子式不为零,而所有的r1阶子式全为零,于是A中阶数大于r的子式都为零,秩等于A中非零子式的最高阶数.规定零矩阵的非零子式的最高阶数为0.因此阶梯矩阵A的定理3.19矩阵A的秩等于A的非零子式的最高阶数.注1879年,Frobenius给出了矩阵秩的上述定义.并且行列式与矩阵的秩6/19注1.若A中有一个s阶子式不为零,则rankAs.若A中所有t阶子式全为零,则rankAt.2.rankAr说明A中至少有一个r阶子式不等于零,并且所有的r1阶子式全为零,即所有阶数大于r的各阶子式全为零.行列式与矩阵的秩7/19证因A的第二列与第四列成比例,故同时含有这两列的三阶子式为零.例3.18求矩阵的秩.131601222346A只需考虑A的两个三阶子式,经计算A有二阶子式1310,01因此rankA2.1310120,2341160220246.行列式与矩阵的秩8/193.5.2矩阵秩的性质(1)0rankAmnmin{m,n}.(2)rankArankAT.(3)若A,B为同型矩阵,则ABrankArankB.(4)若P,Q为可逆矩阵,则rank(PA)rank(AQ)rank(PAQ)rankA.行列式与矩阵的秩9/19(5)rankrankrankAABB0.0证对分块矩阵做初等行变换化为阶梯00ADB矩阵D1,则A,B分别化为阶梯矩阵A1,B1,非零行数等于A1与B1的非零行数之和,即rankrankrank.DAB于是D1的行列式与矩阵的秩10/19rankrankrankAABCB0.(6)证当A有一个s阶非零子式,B有一个t阶非零子式时,于是必有一个st阶非零子式,ACB0rankrankrankAABCB0.行列式与矩阵的秩11/19对[AB]做初等行变换化为阶梯矩阵[A1B1],证同理有rankBrank[AB].于是max{rankA,rankB}rank[AB].(7)max{rankA,rankB}rank[AB]rankArankB.rankArank[AB].则A1的非零行数不会超过[A1B1]的非零行数,所以行列式与矩阵的秩12/19从而由性质(5)知rankrankrankAABB00rankABB0rank[]AB.,AABBB000应用分块倍加行变换可得行列式与矩阵的秩13/19[][],ABABB证应用分块倍加列变换可得从而由性质(7)知rankrankrank[]rank[]ABABABBrank(AB).(8)rankArankBrank(AB)rankArankB.rank(AB)rank(B)rank{(AB)B},由此还可得到行列式与矩阵的秩14/19即rank(AB)rankBrankA,rankArankBrank(AB)rankArankB.综上所述,得行列式与矩阵的秩15/19(9)Sylvester不等式.设AAmn,BBnk,则rankArankBnrank(AB)min{rankA,rankB}.特别地,当AmnBnk0时,有rankArankBn.证记CAB,则矩阵方程AXC有解,于是所以rankArank[AC].rank(AB)rankCrank[AC]rankA.由此还知行列式与矩阵的秩16/19综合上面两式得rank(AB)min{rankA,rankB}.nnABABAEE000应用分块初等变换可得nABE0nABE0,nAEB0rank(AB)rank(BTAT)rank(BT)rankB,行列式与矩阵的秩17/19ranknAEB0rank()ranknnABABE00rankrankAB.从而由性质(5)和(6)可知注1884年,Sylvester首先证明了该不等式.行列式与矩阵的秩18/19例3.19设n阶矩阵A满足A2A,证明rankArank(EA)n.行列式与矩阵的秩19/19内容小结1.矩阵秩的定义:等价标准形中1的个数.2.矩阵秩的等价定义:非零子式的最高阶数.3.求矩阵秩的方法(1)对矩阵做初等行变换化为阶梯矩阵,阶梯矩阵中非零行的数目就是矩阵的秩.(2)寻找矩阵中非零子式的最高阶数.4.矩阵秩的一些等式和不等式.