第3章行列式习题课

第3章习题课一、基本要求二、典型例题分析第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社2/34一、基本要求1.理解行列式的概念.2.理解行列式的按行(列)展开法则和初等变换性质.3.理解可逆矩阵的充要条件,掌握求逆矩阵的伴随矩阵法.4.了解行列式的乘积法则和分块三角行列式的公式,会用Cramer法则讨论齐次线性方程组的解.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社3/345.熟练掌握降阶法、三角化方法,会用归纳法、递推法、分拆法、升阶法计算阶行列式.6.理解矩阵秩的子式定义,会用子式求矩阵秩,了解矩阵秩的性质及其证明.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社4/34二、典型例题分析12312,,,,αααββ例1设都是41矩阵,且1231,uαααβ1223,vααβα32112αααββ.求解3211232113212αααββαααβαααβ12311223αααβααβαuv.(一)行列式的性质第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社5/34例3设A,B均为n阶矩阵,证明ABABABBA.例2已知函数212322212223(),333245354435743xxxxxxxxfxxxxxxxxx求方程f(x)0的所有解.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社6/34例2已知函数212322212223(),333245354435743xxxxxxxxfxxxxxxxxx求方程f(x)0的所有解.解因为212()rrfx12rr21232123333245354435743xxxxxxxxxxxx第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社7/341211112123333245354435743rrxxxxxxxxx3141341111212332550373rxrrxrxxx2131231111010101220373rrrrxxx324231111010100210076rrrrxxx5(1),xx故方程f(x)0的所有解为120,1xx.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社8/34证例3设A,B均为n阶矩阵,证明ABABABBA.对分块矩阵做分块倍加行(列)变换,得ABBAABABBABABA,ABBAB0而分块倍加变换不改变行列式的值,故ABABBABAB0ABAB.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社9/34(二)按行(列)展开法则的应用解例4设TTT(1,0,1),(1,1,2),αβAαβ.若53||1,EA.求T1,βα因为所以5T5T4T4T()()(1),AαβαβαβαβA532112||||00,112EAEA从而3231,解得1.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社10/34430402222,07005322D例5已知行列式记D4中(i,j)元的余子式和代数余子式分别为Mij和Aij,i,j1,2,3,4.41424344;MMMM(1)求1424442.AAA(2)求第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社11/344142434441424344MMMMAAAA(1)1424442AAA(2)解3040222207001111304122210700532243040222207005322D28.308.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社12/34111212122212nnnnnnnababababababDababab.例6计算行列式(三)n阶行列式的计算21111121222221nnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxDaxaxaxax.例7计算行列式第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社13/34解将行列式按第一列拆开,得1121112122221222212nnnnnnnnnnnnaababbababaababbababDaababbabab.(三)n阶行列式的计算111212122212nnnnnnnababababababDababab.例6计算行列式第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社14/34将第一个行列式的第一列乘以(1)分别加到其余各列,再从第二个行列式第一列提取因子b1,得1212122222122111nnnnnnnnnnabbabababbababDbabbabab.将第二个行列式中第一列乘以bi分别加到第i列(i2,3,,n),得第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社15/3411,ab当n1时;121122211abababa1221()(),aabb当n2时;0,当n3时.1211222212111nnnnnnnabbaaabbaaDbabbaa第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社16/34解2111112122222111000nnnnnnnnnnnnaaaaaxaxaxaxDaxaxaxaxaxaxaxax21111121222221nnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaxaxDaxaxaxax.例7计算行列式12,3,,irrin设法去掉各行中的a,用升阶法.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社17/34211111212222211(1)010101nnnnnnnnnnnaaaaaaxxxxxxxxxxxx12111112122222,3,,2111111innrrnninnnnnnnnaaaaxxxxxxxxxxxx第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社18/342121111111112121222222222121111010101nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx21111121222221111111111nnnnnnnnnnnxxxxaxxxxxxxx21111121222221(1)nnnnnnnnnnnxxxxxxxxaxxxx第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社19/34211112122212111(1)1nnnnniinnnnnxxxxxxaxxxx11(1)()niijijinaxxx1111(1)()(1)()nniijiijijinijinaxxxaxxx111(1)(1)()nniiijiijinaxaxxx.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社20/34证.必要性证明平面上三条不同的直线例800,3,13xxyzy可视为齐次线性方程组0,0,0axbyczbxcyazcxaybz,的非零解0,0,0axbycbxcyacxayb0abc.相交于一点的充分必要条件是从而其系数行列式00(,),Mxy设所给三条直线交于一点则(四)Cramer法则的应用第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社21/342221()[]0()()()2abcbcaabcabbccacab.,,,,abc因三条直线互不相同故不全相同.充分性,,axbycbxcyacxayb(1),的第一、二两个方程加到第三个方程0,32abc如果则将方程组0abc.所以得第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社22/34,,00axbycbxcya(2)..20,abacbbc(2)假如的系数行列式(2).下证明方程组有唯一解22()0,acac于是0ac.从而有20acb.则222()2,[()]bacacacacac由得第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社23/340,a不妨设00,abcc再由得,Cramer(2).由法则知方程组有唯一解从而知方程.与题设矛盾20acbb.由得,(1)组有唯一解.即三条不同直线交于一点0abbc.故第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社24/34当A0,B0时,有1||;AAA*1|;|()AAA*1();nkkAA**()ABBA.***2()||;nAAA**11()();AA**TT()();AA**1||||;nAA*当A0时,A0.(五)伴随矩阵及矩阵的逆伴随矩阵的性质||AAAAΑΕ.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社25/34例9设A,B均为n阶矩阵,n2,且A2,B3,求例10已知,求满足下式的矩阵X:111111111A1182AXAAXE.***1ABAB.***第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社26/34解11,ABABABB*****1,nAA*1,BBB*故111nABABABB***11nnABB211122233nnn.1ABAB.***例9设A,B均为n阶矩阵,n2,且A2,B3,求第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社27/341182AXAAXE.***解40,A故A可逆.11(2)2AA***由114,AAAA*得1112(2)AA,A例10已知,求满足下式的矩阵X:111111111A第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社28/34则原方程变为1148,AXAAXE两边同时左乘A,得48XAXA4(2),XAEA从而11(2)4XAAE11111111111111411111101010014100.第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社29/34方法1用初等行变换将所给矩阵化为阶梯形矩阵,阶梯矩阵中非零行数就是原矩阵的秩.方法2从阶数最高的子式开始,找到非零子式中阶数最大者,则该子式的阶数就是矩阵的秩.若矩阵A中有一个r阶非零子式,则rankAr;若矩阵A的所有r1阶子式均为零,则rankAr;若矩阵A中有一个r阶非零子式,而所有r1阶子式均为零,则rankAr.(六)矩阵秩的计算与证明第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社30/34矩阵秩的性质(1)0rankAmnmin{m,n}.(2)rankArankAT.(3)若A,B为同型矩阵,则ABrankArankB.(4)若P,Q为可逆矩阵,则rank(PA)rank(AQ)rank(PAQ)rankA.(5)rankrankrankAABB0.0第3章习题课谢政.线性代数.高等教育出版社31/34(6)(7)max{rankA,rankB}r