2016年四川省高考数学试题及答案(文科)(精编版)

1绝密★启封前2016年四川省高考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．设i为虚数单位，则复数（1+i）2=（）A．0B．2C．2iD．2+2i2．设集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z中元素的个数是（）A．6B．5C．4D．33．抛物线y2=4x的焦点坐标是（）A．（0，2）B．（0，1）C．（2，0）D．（1，0）4．为了得到函数y=sin（x+）的图象，只需把函数y=sinx的图象上所有的点（）A．向左平行移动个单位长度B．向右平行移动个单位长度C．向上平行移动个单位长度D．向下平行移动个单位长度5．设p：实数x，y满足x＞1且y＞1，q：实数x，y满足x+y＞2，则p是q的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知a为函数f（x）=x3﹣12x的极小值点，则a=（）A．﹣4B．﹣2C．4D．27．某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：lg1.12=0.05，lg1.3=0.11，lg2=0.30）A．2018年B．2019年C．2020年D．2021年8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，2，则输出v的值为（）2A．35B．20C．18D．99．已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（）A．B．C．D．10．设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则△PAB的面积的取值范围是（）A．（0，1）B．（0，2）C．（0，+∞）D．（1，+∞）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．sin750°=．12．已知某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是．313．从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，则logab为整数的概率是．14．若函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，则f（﹣）+f（2）=．15．在平面直角坐标系中，当P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P′（，），当P是原点时，定义“伴随点”为它自身，现有下列命题：①若点A的“伴随点”是点A′，则点A′的“伴随点”是点A．②单元圆上的“伴随点”还在单位圆上．③若两点关于x轴对称，则他们的“伴随点”关于y轴对称④若三点在同一条直线上，则他们的“伴随点”一定共线．其中的真命题是．三、解答题（共6小题，满分75分）16．（12分）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．（I）求直方图中的a值；（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由；（Ⅲ）估计居民月均用水量的中位数．417．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD=AD．（I）在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；（II）证明：平面PAB⊥平面PBD．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且+=．（Ⅰ）证明：sinAsinB=sinC；（Ⅱ）若b2+c2﹣a2=bc，求tanB．19．（12分）已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn+1=qSn+1，其中q＞0，n∈N+（Ⅰ）若a2，a3，a2+a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设双曲线x2﹣=1的离心率为en，且e2=2，求e12+e22+…+en2．520．（13分）已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P（，）在椭圆E上．（Ⅰ）求椭圆E的方程；（Ⅱ）设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳•︳MB︳=︳MC︳•︳MD︳21．（14分）设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；（Ⅲ）确定a的所有可能取值，使得f（x）＞g（x）在区间（1，+∞）内恒成立．62016年四川省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.1．【解答】解：（1+i）2=1+i2+2i=1﹣1+2i=2i，故选：C．2．【解答】解：∵集合A={x|1≤x≤5}，Z为整数集，则集合A∩Z={1，2，3，4，5}．∴集合A∩Z中元素的个数是5．故选：B．3．【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标是（1，0），故选：D4．【解答】解：由已知中平移前函数解析式为y=sinx，平移后函数解析式为：y=sin（x+），可得平移量为向左平行移动个单位长度，故选：A5．【解答】解：由x＞1且y＞1，可得：x+y＞2，反之不成立：例如取x=3，y=．∴p是q的充分不必要条件．故选：A．6．【解答】解：f′（x）=3x2﹣12；∴x＜﹣2时，f′（x）＞0，﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，x＞2时，f′（x）＞0；∴x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；∴a=2．故选D．7．【解答】解：设第n年开始超过200万元，则130×（1+12%）n﹣2015＞200，化为：（n﹣2015）lg1.12＞lg2﹣lg1.3，n﹣2015＞=3.8．取n=2019．因此开始超过200万元的年份是2019年．故选：B．8．【解答】解：∵输入的x=2，n=3，故v=1，i=2，满足进行循环的条件，v=4，i=1，满足进行循环的条件，v=9，i=0，满足进行循环的条件，v=18，i=﹣1不满足进行循环的条件，故输出的v值为：故选：C79．【解答】解：如图所示，建立直角坐标系．B（0，0），C，A．∵M满足||=1，∴点P的轨迹方程为：=1，令x=+cosθ，y=3+sinθ，θ∈[0，2π）．又=，则M，∴||2=+=+3sin≤．∴||2的最大值是．故选：B．10．【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0＜x1＜1＜x2），当0＜x＜1时，f′（x）=，当x＞1时，f′（x）=，∴l1的斜率，l2的斜率，∵l1与l2垂直，且x2＞x1＞0，∴，即x1x2=1．直线l1：，l2：．取x=0分别得到A（0，1﹣lnx1），B（0，﹣1+lnx2），|AB|=|1﹣lnx1﹣（﹣1+lnx2）|=|2﹣（lnx1+lnx2）|=|2﹣lnx1x2|=2．联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，∴|AB|•|xP|==．∵函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0＜x1＜1，8∴，则，∴．∴△PAB的面积的取值范围是（0，1）．故选：A．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．【解答】解：sin750°=sin（2×360°+30°）=sin30°=，故答案为：．12．【解答】解：由三视图可知几何体为三棱锥，底面为俯视图三角形，底面积S==，棱锥的高为h=1，∴棱锥的体积V=Sh==．故答案为：．13．【解答】解：从2，3，8，9中任取两个不同的数字，分别记为a，b，基本事件总数n==12，logab为整数满足的基本事件个数为（2，8），（3，9），共2个，∴logab为整数的概率p=．故答案为：．14．【解答】解：∵函数f（x）是定义R上的周期为2的奇函数，当0＜x＜1时，f（x）=4x，∴f（2）=f（0）=0，f（﹣）=f（﹣+2）=f（﹣）=﹣f（）=﹣=﹣=﹣2，则f（﹣）+f（2）=﹣2+0=﹣2，故答案为：﹣2．15．【解答】解：①设A（0，1），则A的“伴随点”为A′（1，0），而A′（1，0）的“伴随点”为（0，﹣1），不是A，故①错误，②若点在单位圆上，则x2+y2=1，即P（x，y）不是原点时，定义P的“伴随点”为P（y，﹣x），满足y2+（﹣x）2=1，即P′也在单位圆上，故②正确，③若两点关于x轴对称，设P（x，y），对称点为Q（x，﹣y），则Q（x，﹣y）的“伴随点”为Q′（﹣，），9则Q′（﹣，）与P′（，）关于y轴对称，故③正确，④∵（﹣1，1），（0，1），（1，1）三点在直线y=1上，∴（﹣1，1）的“伴随点”为（，），即（，），（0，1）的“伴随点”为（1，0），（1，1的“伴随点”为（，﹣），即（，﹣），则（，），（1，0），（，﹣）三点不在同一直线上，故④错误，故答案为：②③三、解答题（共6小题，满分75分）16．【解答】解：（I）∵1=（0.08+0.16+a+0.40+0.52+a+0.12+0.08+0.04）×0.5，整理可得：2=1.4+2a，∴解得：a=0.3．（II）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量=30万，则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．（Ⅲ）根据频率分布直方图，得；0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5=0.48＜0.5，0.48+0.5×0.52=0.74＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x，令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.42×0.5+0.52×x=0.5，解得x=0.038；∴中位数是2+0.06=2.038．17．【解答】证明：（I）M为PD的中点，直线CM∥平面PAB．取AD的中点E，连接CM，ME，CE，则ME∥PA，∵ME⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴ME∥平面PAB．∵AD∥BC，BC=AE，∴ABCE是平行四边形，∴CE∥AB．∵CE⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴CE∥平面PAB．∵ME∩CE=E，∴平面CME∥平面PAB，∵CM⊂平面CME，∴CM∥平面PAB；（II）∵PA⊥CD，∠PAB=90°，AB与CD相交，∴PA⊥平面ABCD，∵BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，由（I）及BC=CD=AD，可得∠BAD=∠BDA=45°，∴∠ABD=90°，∴BD⊥AB，∵PA∩AB=A，∴BD⊥平面PAB，∵BD⊂平面PBD，∴平面PAB⊥平面PBD．1018．【解答】（Ⅰ）证明：在△ABC中，∵+=，∴由正弦定理得：，∴=，∵sin（A+B）=sinC．∴整理可得：sinAsinB=sinC，（Ⅱ）解：b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理可得cosA=．sinA=，=+==1，=，tanB=4．19．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，数列{an}的首项为1，即a1=1，又由Sn+1=qSn+1，则S2=qa1+1，则a2=q，又有S3=qS2+1，则有a3=q2，若a2，a3，a2+a3成等差数列，即2a3=a2+（a2+a3），则可得q2=2q，（q＞0），解可得q=2，则有Sn+1=2Sn+1，①进而有Sn=2Sn﹣1+1，②①﹣②可得an=2an﹣1，则数列{an}是以1为首项，公比为2的等比数列，则an=1×2n﹣1=2n﹣1；（Ⅱ）根据题意，有Sn+1=qSn+1，③同理可得Sn=qSn﹣1+1，④③﹣④可得：an=qan﹣1，又由q＞0，则数列{an}是以1为首项，公比为q的等比数列，则an=1×qn﹣1=qn﹣1