2014年高考复习理科数学试题(48)

1k=0,S=1k3开始结束是否k=k+1输出SS=S×2k（第6题图）2014年高考复习理科数学试题（48）本试卷共4页，三大题，满分150分。考试时间为120分钟。注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、座号写在答题卷密封线内。2、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答。3、答案一律写在答题区域内，不准使用铅笔和涂改液，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（本卷共计70分）一、选择题：(本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．)1．已知集合1,1A，|20Bxax，若BA,则实数a的所有可能取值的集合为（）A.2B.2C.2,2D.2,0,22.设z是复数，()az表示满足1nz的最小正整数n，则对虚数单位i，()ai（）A.8B.6C.4D.23．如图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为12，则该几何体的俯视图可以是4.“0mn”是“方程221mxny表示焦点在y轴上的椭圆”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件D5．已知幂函数()yfx的图象过点13,33，则9log(3)f的值为（）A．14B．14C．2D．－26．执行如图所示的程序框图,输出的S值为（）A．2B．4C．8D．162COBAP7．已知函数sincosyxx，则下列结论正确的是（）A.此函数的图象关于直线4x对称B.此函数在区间(,)44上是增函数C.此函数的最大值为1D.此函数的最小正周期为8．若不等式2229ttatt在t∈(0,2]上恒成立，则a的取值范围是()A.16，1B.213，1C.16，413D.16，22二、填空题：(本大题共7小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．)（一）必做题：(第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须做答.)9．函数211lg(4)yxx的定义域是______________.10．已知,xy满足约束条件5000xyxyy≥≤≤，则24zxy的最小值是_________.11.若2nxx展开式中所有二项式系数之和为16，则展开式常数项为.12．若双曲线22ax－22by=1的渐近线与圆3)2(22yx相切，则此双曲线的离心率为．13.已知正项等比数列na满足：7652aaa，若存在两项,mnaa使得14mnaaa，则14mn的最小值为（二）选做题：(第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．)14.(几何证明选讲选做题)已知AB是圆O的一条弦，点P为AB上一点，PCOP,PC交圆O于点C，若6AP,3PB,则PC的长为.15.(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为2,3，第14题3DACBPO4,6，则△ABC（其中O为极点）的面积为.第II卷（本卷共计80分）三、解答题：（本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）16.（本题满分12分）已知向量sin,cos,cos,sin3366xxAAab,函数()fxab(0,AxR),且(2)2f.(1)求函数()yfx的表达式;(2)设,[0,]2,16(3),5f5203213f;求cos()的值17．（本题满分12分）某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.一次购物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顾客数(人)x3025y10结算时间(分钟/人)11.522.53已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55%.(Ⅰ)确定x,y的值,并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望;(Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.(注:将频率视为概率)18．（本题满分14分）如图，在三棱锥P-ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上，已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2（Ⅰ）证明：AP⊥BC；（Ⅱ）在线段AP上是否存在点M，使得二面角A-MC-B为直二面角？若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由.419．（本题满分14分）已知数列na的前n项和为nS，且*1()nnSanN。（1）求数列na的通项公式；（2）设,1,log1121nnbbcabnnnnn记12,nnTccc证明：Tn＜1.20．（本题满分14分）已知圆C的圆心为(,0),3Cmm，半径为5，圆C与椭圆E：)0(12222babyax有一个公共点A(3,1)，21FF、分别是椭圆的左、右焦点．（1）求圆C的标准方程；（2）若点P的坐标为(4,4)，试探究斜率为k的直线1PF与圆C能否相切，若能，求出椭圆E和直线1PF的方程;若不能，请说明理由．21．（本题满分14分）已知函数32()ln(21)2()3xfxaxxaxaR．（1）若2x为()fx的极值点，求实数a的值；（2）若()yfx在3,上为增函数，求实数a的取值范围；（3）当12a时，方程31(1)3xbfxx有实根，求实数b的最大值。5数学答案一、选择题：题号12345678答案DCCDACBB二、填空题：9.,11,33,4；10.15；11.24；12.2；13.32；14.32；15.2三、解答题：16.解:(1)依题意得()sincoscossin3636xxfxAAsin36xA……2分又(2)2f得2sin236A,即5sin26A,∴4A……3分∴()4sin36xfx…………4分(2)由16(3)5f得1164sin(3)365,即164sin25……5分∴4cos5,……6分又∵[0,]2,∴3sin5,……7分由5203213f得15204sin(3)32613,即5sin()13……8分∴5sin13,……9分又∵[0,]2,∴12cos13……10分4123533cos()coscossinsin51351365……12分17.解：(1)由已知,得251055,35,yxy所以15,20.xy……2分该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得153303251(1),(1.5),(2),10020100101004pXpXpX201101(2.5),(3).100510010pXpX……………………………………4分X的分布为6yxzDACBPOMXX11.522.53P3203101415110X的数学期望为33111()11.522.531.920104510EX.…………6分(Ⅱ)记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”,(1,2)iXi为该顾客前面第i位顾客的结算时间,则121212()(11)(11.5)(1.51)PAPXXPXXPXX且且且.……8分由于顾客的结算相互独立,且12,XX的分布列都与X的分布列相同,所以121212()(1)1)(1)(1.5)(1.5)(1)PAPXPXPXPXPXPX(333333920202010102080.………………11分故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为980.………………12分18.方法一:（Ⅰ）证明：如图，以O为原点，以射线OP为z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.则O（0,0,0），A（0，-3,0），B（4,2,0），C（-4,2,0），P（0,0,4）………1分(0,3,4),(8,0,0),APBC…………2分由此可得0APBC所以AP⊥BC，即AP⊥BC.…………4分（Ⅱ）解：设,1,(0,3,4),PMPAPM则……5分BMBPPMBPPA(4,2,4)(0,3,4)(4,23,44),……6分(4,5,0),(8,0,0).ACBC…………7分设平面BMC的法向量1111(,,),nxyz平面APC的法向量2222(,,),nxyz…………8分由110,0,BMnBCn得11114(23)(44)0,80,xyzx即1110,23,44xzy7DACBPOM可取23(0,1,),44n…………10分由210,0,APnACn即2222340,450,yzxy得22225,43,4xyzy可取2(5,4,3),n…………12分由120nn，得2343044，解得25，…………13分综上所述，存在点M符合题意，AM=3.…………14分方法二：（Ⅰ）证明：由AB=AC,D是BC的中点，得AD⊥BC,…………1分又PO⊥平面ABC,得PO⊥BC.…………2分因为PO∩AD=0，所以BC⊥平面PAD…………3分故BC⊥PA.…………4分（Ⅱ）解：如下图，在平面PAB内作BM⊥PA于M,连CM.…………5分由（Ⅰ）中知AP⊥BC,得AP⊥平面BMC.…………6分又AP平面APC,所以平面BMC⊥平面APC。…………7分在Rt△ADB中，AB2=AD2+BD2=41，得AB=41…………8分在Rt△POD中,PB2=PO2+OD2,在Rt△PDB中,PB2=PD2+BD2,所以PB2=PO2+OD2+BD2=36，得PB=6.…………9分在Rt△POA中,PA2=AO2+OP2=25,得PA=5…………10分又2221cos,23PAPBABBPAPAPB…………11分从而cos2,PMPBBPA所以3AMPAPM…………13分综上所述，存在点M符合题意，AM=3.…………14分19.解（1）当1n时时，由111,Sa得112a，………………2分当2n时，1,nnSa…………………………①111,nnSa………………………………②8上面两式相减，得11.2nnaa………………4分所以数列na是以首项为12，公比为12的等比数列，………………5分求得.21*Nnann……………………7分（2）.121log1log12121nabnnn……………………………………………………9分11111nnnnnncn……………………………………………11分1211111111223341nnTcccnn111n＜1.……………14分20.解：（1）由已知可设圆C的方程为)3(5)(22mymx．…………………1分将点A的坐标代入圆C的方程，得51)3(2m，即4)3(2m，解得51mm，或．………………………………………3分∵3m，∴1m