2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考(一)数学理科答案

(数学理科)第1页共8页2016年天津市十二区县重点学校高三毕业班联考（一）数学理科参考答案一、选择题:每小题5分，满分40分题号12345678答案ACDBBCDB二、填空题:每小题5分，共30分.9．1322i；10．90；11．ln32；12．9278；13．2,27；14．23,23三、解答题：本大题6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知函数)6(coscos)(22xxxf，Rx(I)求()fx最小正周期；(II)求()fx在区间]4,3[上的最大值和最小值.解：22()coscos()6fxxx1cos(2)1cos2322xx……2分33sin2cos2144xx……3分3sin(2)123x……5分1)函数()fx的最小正周期22T……6分2)函数()fx在,312单调递增，在,124单调递减。……8分133(),()1,()1.3412244fff……11分minmax13(),()1.42fxfx……13分(数学理科)第2页共8页16．（本小题满分13分）某大学自主招生考试面试环节中，共设置两类考题，A类题有4个不同的小题，B类题有6个不同的小题,某考生从中任取四道题解答.(Ⅰ)求该考生至少取到2道B类题的概率；(Ⅱ)设所取四道题中B类题的个数为X,求随机变量X的分布列与期望.解：(Ⅰ)设事件A:”该考生至少取到2道B类题”.()PA43144641037142CCCC……4分（2）随机变量X的取值分别为0，1，2，3，4，……5分4441010210CPXC3146410241210CCPXC2246410902210CCPXC，1346410803210CCPXC46410154210CPXC……10分∴随机变量X的分布列为：……11分∴随机变量X的期望为：12490801512012342102102102102105EX……13分X01234P121024210902108021015210(数学理科)第3页共8页17．（本小题满分13分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF△为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC∥,4BC，2EFa，60EBCFCB，O为EF的中点．(Ⅰ)求证：AOBE；(Ⅱ)求二面角FAEB的余弦值；(Ⅲ)若直线CA与平面BEA所成的角的正弦值为562,求实数a的值．解：(Ⅰ)由于平面AEF平面EFCB，AEF△为等边三角形，O为EF的中点，则AOEF，EFEFCBAEF平面平面,根据面面垂直性质定理，所以AO平面EFCB，又BE平面EFCB，则AOBE.…3分(Ⅱ)取CB的中点D，连接OD,则EFOD以O为原点，分别以ODOAOE、、为、、xyz轴建立空间直角坐标系，…4分)0,0,0(O，)0,0,(aE，)0,0,(aF，)0,3,0(aA，))2(3,0,2(aB，))2(3,0,2(aC，))2(3,0,2(aaBE设平面AEB的法向量),.(zyxm00EmAEm即0)2(3)2(03zaxaayax令1,3,1zxy)1,1,3(m……6分平面AEF的法向量为)1,0,0(n，……7分二面角FAEB的余弦值55,cosnmnmnm，……8分由二面角FAEB为钝二面角，所以二面角FAEB的余弦值为55.……9分OEFBACxz(数学理科)第4页共8页(Ⅲ)))2(3,3,2(aaCA……10分设直线CA与平面BEA所成角为，mCAmCAsin562)2(33453422aa10161262aa……12分)2,0(1a满足题意1a……13分18．（本小题满分13分）设椭圆E的方程为222210xyabab，点O为坐标原点，点A的坐标为0a，，点B的坐标为0b，，点M在线段AB上，满足2BMMA，直线OM的斜率为41.(Ⅰ)求椭圆E的离心率e；(Ⅱ)PQ是圆C:215)1()2(22yx的一条直径，若椭圆经过P，Q两点，求椭圆E的方程．（I）A0a，B0b，点M在线段AB上，满足2BMMAM)3,32(ba……1分412abkOM21ab……2分23)(12abac椭圆E的离心率e为23……4分(II)解法一：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb+=.(1)……5分依题意，圆心)1,2(C是线段PQ的中点，且30PQ.……6分易知，PQ不与x轴垂直，设其直线方程为(2)1ykx=++，……7分代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40kxkkxkb+++++-=……8分(数学理科)第5页共8页设),(,),(2211yxQyxP则22141)12(8kkkxx,22221414)12(4kbkxx……9分由124xx+=-，得28(21)4,14kkk+-=-+解得12k=.……10分从而21282xxb=-.于是4254)(25)21(1221221212bxxxxxxPQ……11分由30PQ，得304252b，6422b解得52b.……12分故椭圆的方程为152022yx.……13分解法二：由（I）知，椭圆的方程为22244xyb+=.(1)……5分依题意点QP、关于圆)1,2(C对称且30PQ……6分),(,),(2211yxQyxP则22222221214444byxbyx……7分两式相减得0)(8)(42121yyxx易知PQ不与x轴垂直，则21xx,212121xxyy……8分PQ的斜率为21，设其直线方程为2211)2(21xxy，代入(1)得028422bxx124xx+=-21282xxb=-.……10分于是4254)(25)21(1221221212bxxxxxxPQ……11分由30PQ，得304252b，6422b解得52b.……12分故椭圆的方程为152022yx.……13分(数学理科)第6页共8页19．（本小题满分14分）已知非单调数列{}na是公比为q的等比数列，且1241,164aaa，记5;1nnnaba(Ⅰ)求{}na的通项公式；(Ⅱ)若对任意正整数n，|1|3nmb都成立，求实数m的取值范围；(Ⅲ)设数列221{},{}nnbb的前n项和分别为,nnST，证明：对任意的正整数n，都有223nnST.解：2124111),16,416aaaqna为非单调数列14q1,.4nnanN……3分2)555,11(4)11nnnnnabnNaa……4分当n奇数，5,0.41nnnbb……5分当n偶数，5,0.41nnnbb且nb为递减数列……6分2max13nbb，11,2mm或0m……8分3）212221221221555(44)4141(41)(41)nnnnnnnnbb……9分212412215(44)4441nnnnn212415(44)4nnn2254n=2516n……11分2143221()()...()nnnnSTbbbbbb……12分2355111()25(...)155161616n451(1)34816n45348=693482.223nnST223nnST……14分(数学理科)第7页共8页20．（本小题满分14分）已知函数1()lnfxxx，()gxaxb．(Ⅰ)若函数()()()hxfxgx在(0,)上单调递增，求实数a的取值范围；(Ⅱ)若直线()gxaxb是函数1()lnfxxx图象的切线，求ab的最小值；(Ⅲ)当0b时，若()fx与()gx的图象有两个交点1122(,),(,)AxyBxy，试比较12xx与22e的大小．（取e为2.8，取ln2为0.7，取2为1.4）解：(Ⅰ)()()()hxfxgx1ln,xaxbx,则211()hxaxx，……1分∵()()()hxfxgx在(0,)上单调递增，∴对0x，都有211()0hxaxx，……2分即对0x，都有211axx，∵2110xx，∴0a，故实数a的取值范围是(,0]．……4分(Ⅱ)设切点0001(,ln)xxx，则切线方程为002000111(ln)()()yxxxxxx，即00220000011111()()(ln)yxxxxxxxx，亦即02000112()(ln1)yxxxxx，……5分令010tx，由题意得202000112,ln1ln21attbxttxxx，…6分令2()ln1abtttt，则1(21)(1)()21tttttt，……7分当(0,1)t时，()0t，()t在(0,1)上单调递减；当(1,)t时，()0t，()t在(1,)上单调递增，∴()(1)1abt，故ab的最小值为1．……9分(Ⅲ)由题意知1111lnxaxx，2221lnxaxx，两式相加得12121212ln()xxxxaxxxx，两式相减得21221112ln()xxxaxxxxx，……10分(数学理科)第8页共8页即212112ln1xxaxxxx，∴21211212122112ln1ln()()xxxxxxxxxxxxxx，即1212212122112()lnlnxxxxxxxxxxxx，……11分不妨令120xx，记211xtx，令2(1)()ln(1)1tFtttt，则2(1)()0(1)tFttt，……12分∴2(1)()ln1tFttt在(1,)上单调递增，则2(1)()ln(1)01tFttFt，∴2(1)ln1ttt，则2211122()lnxxxxxx，∴1212212122112()lnln2xxxxxxxxxxxx，又1212121212121212121242()44lnlnln2lnxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx，∴121242ln2xxxx，即12122ln1xxxx，……13分令2()lnGxxx，则0x时，212()0Gxxx，∴()Gx在(0,)上单调递增，又212ln2ln210.85122eee，∴12121222()ln1ln22Gxxxxexxe，则122xxe，即2122xxe．……14分