2014年高考数学总复习教案第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理

一折网作文录第七章推理与证明第1课时合情推理与演绎推理(对应学生用书(文)、(理)93～94页)考情分析考点新知能用归纳和类比等方法进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理；了解合情推理和演绎推理的联系和区别．①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.1.(选修12P35练习题4改编)“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝13x是指数函数(小前提)，所以y＝13x是增函数(结论)”，上面推理错误的原因是______________.答案：大前提错误解析：y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．2.(选修12P35练习题3改编)用三段论的形式写出“矩形的对角线相等，正方形是矩形，所以正方形的对角线相等．”的演绎推理过程________________________________________________________________________________________________________________________________________________.答案：每一个矩形的对角线相等(大前提)正方形是矩形(小前提)正方形的对角线相等(结论)3.(选修12P29练习题3(2)改编)观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是________.答案：n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2解析：等式右边的底数为左边的项数．4.(选修12P29练习题3(2)改编)观察下列等式：21＋2＝4；21×2＝4；32＋3＝92；32×3＝92；43＋4＝163；43×4＝163；…，根据这些等式反映的结果，可以得出一个关于自然数n的等式，这个等式可以表示为______________________．答案：n＋1n＋(n＋1)＝n＋1n×(n＋1)(n∈N*)解析：由归纳推理得n＋1n＋(n＋1)＝n＋1＋（n2＋n）n＝（n＋1）2n，n＋1n×(n＋1)＝（n＋1）2n，所以得出结论n＋1n＋(n＋1)＝n＋1n×(n＋1)(n∈N*)．5.已知扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，类比三角形的面积公式：S＝12×底×高，可得扇形的面积公式为________．答案：12rl一折网作文录1.归纳推理(1)归纳推理的定义从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理．(2)归纳推理的思维过程大致如图实验、观察―→概括、推广―→猜测一般性结论(3)归纳推理的特点①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象，该结论超越了前提所包容的范围．②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实践检验，因此，它不能作为数学证明的工具．③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理得到的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题．2.类比推理(1)根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理．(2)类比推理的思维过程观察、比较―→联想、类推―→猜测新的结论3.演绎推理(1)演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等)，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．(2)主要形式是三段论式推理．(3)三段论的常用格式为M—P(M是P)①S－M(S是M)②S—P(S是P)③其中，①是大前提，它提供了一个一般性的原理；②是小前提，它指出了一个特殊对象；③是结论，它是根据一般原理，对特殊情况作出的判断．[备课札记]一折网作文录题型1归纳推理例1在各项为正的数列{an}中，数列的前n项和Sn满足Sn＝12an＋1an.(1)求a1，a2，a3；(2)由(1)猜想数列{an}的通项公式；(3)求Sn.解：(1)当n＝1时，S1＝12a1＋1a1，即a21－1＝0，解得a1＝±1.∵a10，∴a1＝1；当n＝2时，S2＝12a2＋1a2，即a22＋2a2－1＝0.∵a20,∴a2＝2－1.同理可得，a3＝3－2.(2)由(1)猜想an＝n－n－1.(3)Sn＝1＋(2－1)＋(3－2)＋…＋(n－n－1)＝n.变式训练已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝1＋an1－an(n∈N*)，则a3＝________，a1·a2·a3·…·a2007＝________．答案：－123解析：(解法1)分别求出a2＝－3、a3＝－12、a4＝13、a5＝2，可以发现a5＝a1，且a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2007＝a2005·a2006·a2007＝a1·a2·a3＝3.(解法2)由an＋1＝1＋an1－an，联想到两角和的正切公式，设a1＝2＝tanθ，则有a2＝tanπ4＋θ，a3＝tanπ2＋θ，a4＝tan3π4＋θ，a5＝tan(π＋θ)＝a1，….则a1·a2·a3·a4＝1，故a1·a2·a3·…·a2007＝a2005·a2006·a2007＝a1·a2·a3＝3.题型2类比推理例2现有一个关于平面图形的命题：如图所示，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为a24.类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为________．答案：a38解析：在已知的平面图形中，中心O到两边的距离相等(如图1)，即OM＝ON.四边形OPAR是圆内接四边形，Rt△OPN≌Rt△ORM，因此S四边形OPAR＝S正方形OMAN＝14a2.同样地，类比到空间，如图2.两个棱长均为a的正方体重叠部分的体积为18a3.一折网作文录备选变式（教师专享）已知椭圆具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P为椭圆上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双曲线x2a2－y2b2＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．解：类似的性质为：若M、N是双曲线：x2a2－y2b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．证明如下：设点M的坐标为(m，n)，则点N的坐标为(－m，－n)，其中m2a2－n2b2＝1.又设点P的坐标为(x，y)，由kPM＝y－nx－m，kPN＝y＋nx＋m，得kPM·kPN＝y－nx－m·y＋nx＋m＝y2－n2x2－m2，将y2＝b2a2x2－b2，n2＝b2a2m2－b2代入得kPM·kPN＝b2a2.题型3演绎推理例3设同时满足条件：①bn＋bn＋22≤bn＋1(n∈N*)；②bn≤M(n∈N*，M是与n无关的常数)的无穷数列{bn}叫“特界”数列．(1)若数列{an}为等差数列，Sn是其前n项和，a3＝4，S3＝18，求Sn；(2)判断(1)中的数列{Sn}是否为“特界”数列，并说明理由．解：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a1＋2d＝4，3a1＋3d＝18，解得a1＝8，d＝－2，Sn＝na1＋n（n－1）2d＝－n2＋9n.(2)由Sn＋Sn＋22－Sn＋1＝（Sn＋2－Sn＋1）－（Sn＋1－Sn）2＝an＋2－an＋12＝d2＝－10，得Sn＋Sn＋22Sn＋1，故数列{Sn}适合条件①，而Sn＝－n2＋9n＝－n－922＋814(n∈N*)，则当n＝4或5时，Sn有最大值20.即Sn≤20，故数列{Sn}适合条件②.综上，数列{Sn}是“特界”数列．备选变式（教师专享）设数列{}an满足a1＝0且11－an＋1－11－an＝1.(1)求{}an的通项公式；(2)设bn＝1－an＋1n，记Sn＝k＝1nbk，证明：Sn1.(1)解：由题设11－an＋1－11－an＝1，即11－an是公差为1的等差数列．又11－a1＝1，故11－an＝n.所以an＝1－1n.(2)证明：由(1)得一折网作文录bn＝1－an＋1n＝n＋1－nn＋1·n＝1n－1n＋1，Sn＝11111()1111nnkkkbkkn===-=-++邋1.观察下列不等式：1＋122＜32；1＋122＋132＜53；1＋122＋132＋142＜74；…；照此规律，第五个不等式是________．答案：1＋122＋132＋142＋152＋1621162.观察下列各式：a＋b＝1；a2＋b2＝3；a3＋b3＝4；a4＋b4＝7；a5＋b5＝11；…；则a10＋b10＝________．答案：123解析：(解法1)由a＋b＝1；a2＋b2＝3得ab＝－1代入后三个等式中符合，则a10＋b10＝(a5＋b5)2－2a5b5＝123.(解法2)令an＝an＋bn，易得an＋2＝an＋an＋1，从而a6＝18，a7＝29，a8＝47，a9＝76，a10＝123.3.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．答案：1∶8解析：考查类比的方法，V1V2＝13S1h113S2h2＝S1S2·h1h2＝14×12＝18，所以体积比为1∶8.4.(选修12P31练习题2改编)在平面几何里可以得出正确结论：“正三角形的内切圆半径等于这正三角形的高的13”．拓展到空间，类比平面几何的上述结论，则正四面体的内切球半径等于这个正四面体的高的________.答案：14解析：运用分割法思想，设正四面体的高为h，底面面积为S，正四面体SABC的内切球的半径为R，球心为O，连结OS、OA、OB、OC，将四面体分成四个三棱锥，则VSABC＝VOSAC＋VOSAB＋VOSBC＋VOABC＝13SR＋13SR＋13SR＋13SR＝43SR＝13Sh，所以R＝14h.5.(2013·镇江期末)观察下列等式：31×2×12＝1－122，31×2×12＋42×3×122＝1－13×22，31×2×12＋42×3×122＋53×4×123＝1－14×23，…，由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，31×2×12＋42×3×122＋…＋n＋2n（n＋1）×12n＝________．答案：1－1（n＋1）·2n1.(2012·江西文)观察下列事实|x|＋|y|＝1的不同整数解(x，y)的个数为4,|x|＋|y|＝2的不同整数解(x，y)的个数为8,|x|＋|y|＝3的不同整数解(x，y)的个数为12….则|x|＋|y|＝20的不同整数解(x，y)的个数为________．答案：80一折网作文录解析：由已知条件，得|x|＋|y|＝n(n∈N*)的整数解(x，y)个数为4n，故|x|＋|y|＝20的整数解(x，y)的个数为80.2.若等差数列{an}的公差为d，前n项的和为Sn，则数列Snn为等差数列，公差为d2.类似地，若各项均为正数的等比数列{bn}的公比为q，前n项的积为Tn，则数列{nTn}为等比数列，公比为________．答案：q解析：Tn＝bn1qn（n－1）2，nTn＝b1(q)n－1.3.若一个n面体有m个面是直角三角形，则称这个n面体的直度为mn，如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，四面体A1ABC的直度为________．答案：1解析：n＝4，m＝4，mn＝44＝1.4.若P0(x0，y0)在椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)外，过P0作椭圆的两条切线的切点分别为P1、P2，则切点弦P1P2所在的直线方程是x0x