2014年高考数学黄金易错点专题汇编专题05三角函数404992

1.函数y=|sinx|cosx-1的最小正周期与最大值的和为。2．函数f(x)=sinx+2|sinx|,x∈（0，2π）的图像与直线y=k有且仅有两个不同的交点，则众的取值范围是.3．要得到函数y=2cosx的图像，只需将函数y=2sin(2x+4)的图像上所有的点的()A.横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向左平行移动8个单位长度B．横坐标缩短到原来的21倍(纵坐标不变)，再向右平行移动4个单位长度C．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平行移动4个单位长度D．横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平行移动8个单位长度4．设函数f(x)=sin(2x+)(-π0)，y=f(x)图像的一条对称轴是直线x=8.(1)求；(2)求函数y=f(x)的单调增区间；5．设α为第四象限的角，若513sin3sin，则tan2α=.6．已知-2x0，sinx+cosx=51，(1)求sinx-cosx的值；(2)求xxxxxcottan2cos2sin22sin322的值．7．已知6sin2α+sinαcosα-2cos2α=0，α∈[2，π]．求sin(2α+3)的值．8．在直径为1的圆O中，作一关于圆心对称、邻边互相垂直的十字形，其中yx0．(Ⅰ)将十字形的面积表示为θ的函数；(Ⅱ)θ为何值时，十字形的面积最大?最大面积是多少?9．若0x2，则2x与3sinx的大小关系为()A．2x3sinxB．2x3sinxC．2x=3sinxD．与x的取值有关2．【错误答案】填[0，3]∵f(x)=]2,(,sin],0[,sin3xxxx∴f(x)的值域为(0，3)，∵f(x)与y=k有交点，∴k∈[0，3]．【正确解答】选C将函数y=2sin(2x+4)图像上所有的点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得函数y=2sin(x+4)的图像；再向左平行移动子个单位长度后便得y=2sin(x+4+4)=2cosx的图像．故选C．4．【错误答案】(1)∵x=8是函数y=f(x)的图像的对称轴，∴sin(2×8+)=±1，∴4+=kπ+2kZ．∴=kπ+4，∵-π0，∴=-43π．5．【错误答案】填±43∵513cos22cossin2sincoscossinsin)2sin(sin3sin2∴.432tan54532cos2sin2tan.53)54(1212sin,542cos,582cos222cof【正确解答】解法1(1)由sinx+cosx=51，平方得sin2x+2sinxcosx+cos2x=251即2sinxcosx=-2524．∵(sinx-cosx)2=1-2sinxcosx=1+25492524.又∵-2x0，∴sinx0，∴cosx0，sinx-cosx0．∴sinx-cosx=57．(2)125108)512)(2512()sincos2(cossincossincossin1sincos1sincoscossin1sinsin2cottan2cos2cos2sin22sin322222xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx解法2(1)联立方程1cossin51cossin2222xxxx由①得slnx=51-cosx，将其代入②，整理得25cos2x-5cosx-12=0，∴cosx=-53或(cosx=54)∵-2x0，∴54cos53sinxx故sinx-cosx=-57(2)xxxxxxxxxxxxsincoscossin1sin2sin2cottan2cos2cos2sin22sin3222=sinxcosx(2-cosx-sinx)=.125108)53542(54)53(7．【错误答案】由已知得(3sinα+2cosα)(2sinα-cosα)=03sinα+2cosα=0或2sinα-cosα=0．∴tanα=-32或tanα=21又∵sin(2α+3)=sin2αcos3+cos2α·sin3=sinαcosα+23(cos2α-sin2α)=.tan1tan123tan1tancossinsincos23cossincossin222222222将tanα=-32代入上式得sin(2α+3)=3265136)32(1)32(123)32(1)32(222将tanα=21时代入上式得10334)21(1)21(123)21(121)32sin(222即103343265136)32sin(或【易错点点睛】上述解答忽视了题设条件提供的角的范围的运用，∵α∈(2,π)，tanα0，∴①②tanα=21应舍去，因此原题只有一解．8．【错误答案】设S为十字形的面积，则S=2xy=2sinθ·cosθ=sin2θ(4≤θ2)．(2)当sin2θ=1即θ=4时，S最大，S的最大值为1．【易错点点睛】上面解答错在面积S的计算上，因为十字形面积等于两个矩形面积和还需减去中间一个边长为x的正方形面积．【正确解答】(1)设S为十字形的面积，则S=2xy-x2=2sinθcosθ-cos2θ(4θ2)(2)解法1S=2sinθcosθ-cos2θ=sin2θ-21cos2θ21)2sin(25,其中)2sin(,55arccos当=1，即2θ-=2时，S最大．∴当θ=552214ARCCOS时，S最大，S的最大值为215．解法2∵S=2sinθcosθ-cos2θ，∴S′=2cos2θ-2sin2θ+2sinθ·cosθ=2cos2θ+sin2θ．令S′=0．即2cos2θ+sin2θ=0，可解得θ=212arctan(-2)．∴当θ=212arctan(-2)时，S最大，S的最大值为215．易错起源1、三角函数的图象和性质例1．求函数xxxxy44coscossin32sin的最小正周期和最小值；并写出该函数在[0，π]上的单调递增区间.【错误答案】xxxxycossin32cossin44.22).62sin(22sin32cos2sin3)cos)(sincos(sin2222Txxxxxxxx故该函数的最小正周期当6,.2262kxZkkx即时，函数y有最小值-2.当2,0x时，函数单调递增.∴函数递增区间是2,0.利用三角函数图像研究三角函数性质(周期性、单调性、最值)，应以基本的三角函数图像y=sinx，y=cosx，y=tanx为基础，在研究单调性要注意复合函数(如y=1-sin(x+6)，y=sin(6-2x)，y=logsin(2x+4))的单调性，在解决这类问题时，不能简单地把，x+6，6-2x，2x+4,看作一个整体，还应考虑函数的定义域等问题．y=Asin(ωx+)与y=sinx图像间的关系：由y=sinx图像可以先平移后伸缩，也可先伸缩后平移．要注意顺序不同，平移单位也不同．易错起源2、三角函数的恒等变形例2．若函数f(x)=2sin)2sin(42cos1xaxxcos(π-2)的最大值为2，试确定常数a的值．【错误答案】∵f(x)xaxxsin21sin4sin22=xasin)2121(∵sinx的最大值为1，∴22121a．∴a=3由于三角函数式中包含着各种角，不同的三角函数的种类，以及不同的式了结构，所以三角函数配凑、降次与升幂、引入辅助角等.同时在三角恒等变形中应多观察，以便发现角、三角函数名称及式子结构差异，运用公式，找出差异的内在联系，选择适当的公式促使差异的转化.另外，由于公式记错而在考试中失分是很常风的，应该熟练掌握各种要求记的公式及其使用范围。易错起源3、三角函数的综合应用例3．设函数f(x)=xsinx(x∈R)(1)证明f(x+2kπ)f(x)=2kπsinx．其中k∈Z；(2)设x0是f(x)的一个极值点．证明[f(x0)]2=20401xx；(3)设f(x)在(0，+∞)的全部极值点按从小到大的顺序a1,a2，…，an，…，证明：2an+1-anπ．【错误答案】(1)证明：由函数f(x)的定义，对任意整数k，有f(x+2kπ)-f(x)=(x+2kπ)·sin(x+2kπ)-xsinx=(x+2kπ)sinx-xsinx=2karsinx．(2)函数f(x)在定义域R上可得f′(x)=sinx+xcosx．令f′(x)=0，sinx+xcosx=0．显然，对于满足上述方程的x有cosx≠0，上述方程化简为x=-tanx，此方程一定有解,f(x)的极值点x0一定满足tanx0=-x0·.11tan1tansin)(,tan1tansin,tan1tancossinsinsin2040202020020220022002020202222222xxxxxxxxxxxfxxxxxxxxx得由(3)证明：设x00是f′，(x0)=0的任意正实根即x0=-tax0，则存在一个非负整数k，使x0∈(2+kπ，π+kπ)．即x0在第二或第四象限内．由题设条件，a1，a2，…，an为方程x=-tanx的全部正实根,且满足a1a2a3，…an，…，那么对于an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)·tan(an+1-an)②由于2+(n-1)πanπ+(n-1)π，2+nπan+1π+nπ，则2an+1-an23π由于tanan+1·tanan0，由②式知tan(an-1，-an)0．由此可知an+1-an必在第二象限∴2an+1-anπ．(3)证明：设x00是f′(x)=0的任意正实根，即x0-tanx0，则存在一个非负整数k，使x0∈(2+kπ，π+kπ)，即x0在第二或第四象限内．由①式f′(x)=cosx(tanx+x)在第二象限或第四象限中的符号可列表如下：X(0,2xk)0xkx,0f′(x)的符号K为奇数-0+K为偶数+0-所以满足f′(x)=0的正根x0都为f(x)的极值点．由题设条件，a1,a2，…，an…为方程x=-tanx的全部正实根且满足a1a2…an…那么对于n=1，2，…an+1-an=-(tanan+1-tanan)=-(1+tanan+1·tanan)tan(an+1-an)．②由于2+(n-1)πanπ+(n-1)π，2+nπan+1π+nπ，则2an+1-an23,由于tanan+1·tanan0，由②式知tan(an+1-an)．0由此可知an+1-an必在第二象限，即an+1-anπ.综上，2an+1-anπ处理与角度有关的应用问题时，可优先考虑三角方法，其一般步骤是：具体设角、构造三角函数模型，通过三角变换来解决．另外，有些代数问题，可通过三角代换，运用三角知识来求解．有些三角问题，也可转化成代数函数，利用代数知识来求解。1.已知x0,2，cos2x=a，则sinx()A．21aB．-21aC．21aD．21a2.已知)4cos(2cos,534sin,434x则的值为()A.58B.85C.54D.563.设250cos1,13tan113tan2,6sin236cos21Cba，则有()A．ObcB．ObcC．Oc6