2016年广西桂林市柳州市高考数学压轴试卷(文科)(解析版)

第1页（共20页）2016年广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷（文科）一、选择题1．设平面向量，若，则等于（）A．B．C．D．2．若复数z满足z=，则|z|=（）A．B．C．D．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln（x2﹣3x）}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（）A．B．C．D．4．如图，给出的是求+++…+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A．i≥15B．i≤15C．i≥14D．i≤145．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．4πB．πC．πD．4+π6．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）A．﹣3B．﹣1C．3D．1第2页（共20页）7．已知x，y满足不等式组，则函数z=2x+y的最小值是（）A．3B．C．12D．238．已知函数f（x）=cos（4x﹣），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[，]D．[，]9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7B．C．﹣7D．10．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C．+3D．﹣+312．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3B．4C．5D．6二、填空题13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为．14．函数f（x）=lnx﹣x2的单调增区间是．15．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，数列{an}的通项公式an=．16．已知奇函数f（x）满足对任意x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，且f（1）=1，则f=．第3页（共20页）三、解答题17．如图，ABCD是直角梯形，AB∥CD，AB=2CD=2，CD=BC，E是AB的中点，DE⊥AB，F是AC与DE的交点．（Ⅰ）求sin∠CAD的值；（Ⅱ）求△ADF的面积．18．某高中为了选拔学生参加“全国中学生英语能力竞赛（NEPCS）”，先在本校进行初赛（满分150分），若该校有100名学生参加初赛，并根据初赛成绩得到如图所示的频率分布直方图．（1）根据频率分布直方图，计算这100名学生参加初赛成绩的中位数；（2）该校推荐初赛成绩在110分以上的学生代表学校参加竞赛，为了了解情况，在该校推荐参加竞赛的学生中随机抽取3人，求选取的三人的初赛成绩在频率分布直方图中处于同组的概率．19．如图ABCD是平行四边形，已知AB=2BC=4，BD=2，BE=CE，平面BCE⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：BD⊥CE；（Ⅱ）若BE=CE=，求三棱锥B﹣ADE的体积VB﹣ADE．20．已知中心在原点、焦点在x轴上的椭圆C上点到两焦点的距离最大值和最小值的差为，且椭圆过（0，），单位圆O的切线l与椭圆C相交于A，B两点．（1）求椭圆方程；（2）求证：OA⊥OB．21．已知函数，对任意的x∈（0，+∞），满足，其中a，b为常数．（1）若f（x）的图象在x=1处切线过点（0，﹣5），求a的值；第4页（共20页）（2）已知0＜a＜1，求证：；（3）当f（x）存在三个不同的零点时，求a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AC，BD交于点Q，∠BAC=∠CAD，AP为四边形ABCD外接圆的切线，交BD的延长线于点P．（1）求证：PQ2=PD•PB；（2）若AB=3，AP=2，AD=，求AQ的长．[选修4-4：坐标系与参数方程选]23．已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的坐标方程为ρ=4sin（θ﹣）．（1）求圆C的直角坐标方程；（2）若P（x，y）是直线l与圆C及内部的公共点，求x+y的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+1|﹣a|x﹣1|．（1）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞5；（2）若f（x）≤a|x+3|，求a的取值范围．第5页（共20页）2016年广西桂林市、柳州市高考数学压轴试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．设平面向量，若，则等于（）A．B．C．D．【分析】由向量平行的到b=﹣4，从而得到=（﹣3，6），由此能求出．【解答】解：∵平面向量，，∴，解得b=﹣4．∴=（2，﹣4），=（﹣3，6），∴==3．故选：D．2．若复数z满足z=，则|z|=（）A．B．C．D．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式求解．【解答】解：∵z==，∴．故选：C．3．设集合A={{x|＜2x＜16}，B={x|y=ln（x2﹣3x）}，从集合A中任取一个元素，则这个元素也是集合B中元素的概率是（）A．B．C．D．【分析】先根据集合A，B，求出A∩B，再利用长度型的几何概型的意义求解即可．【解答】解：∵集合A={x|＜2x＜16}=（﹣2，4），B={x|y=ln（x2﹣3x）}=（0，3），∴A∩B={x|0＜x＜3}，∴事件“x∈A∩B”的概率是=故选：C．第6页（共20页）4．如图，给出的是求+++…+的值的一个程序框图，则判断框内填入的条件是（）A．i≥15B．i≤15C．i≥14D．i≤14【分析】由已知中程序的功能是计算+++…+的值，根据已知中的程序框图，我们易分析出进行循环体的条件，进而得到答案．【解答】解：模拟程序的运行，可知程序的功能是计算+++…+的值，即n≤30，i≤15时，进入循环，当i=16时，退出循环，则判断框内填入的条件是i≤15．故选：B．5．几何体的三视图如图所示，该几何体的体积为（）A．4πB．πC．πD．4+π【分析】由三视图可知：该几何体是由两部分组成的，上面是一个球，下面是一个倒立的圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由两部分组成的，上面是一个球，下面是一个倒立的圆锥．∴该几何体的体积V=×13+=．故选：B．6．在等比数列{an}中，Sn表示前n项和，若a3=2S2+1，a4=2S3+1，则公比q=（）第7页（共20页）A．﹣3B．﹣1C．3D．1【分析】由已知条件，求出a4﹣a3=2a3，由此能求出公比．【解答】解：等比数列{an}中，∵a3=2S2+1，a4=2S3+1，∴a4﹣a3=2S3+1﹣（2S2+1）=2（S3﹣S2）=2a3，∴a4=3a3，∴q==3．故选：C．7．已知x，y满足不等式组，则函数z=2x+y的最小值是（）A．3B．C．12D．23【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可得到结论．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，1），此时z=2×1+1=3，故选：A．第8页（共20页）8．已知函数f（x）=cos（4x﹣），将函数y=f（x）的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得函数图象向右平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，则函数y=g（x）的一个单调递增区间为（）A．[﹣，]B．[﹣，]C．[，]D．[，]【分析】横坐标伸长为原来的2倍得函数的解析式为f（x）=cos（2x﹣），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为y=sin2x，利用正弦函数的性质即可得解．【解答】解：把函数f（x）=cos（4x﹣）图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），所得函数的解析式为f（x）=cos（2x﹣），再把所得函数的图象向右平移个单位，得到图象的解析式为y=cos[2（x﹣）﹣]=sin2x，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得：kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故当k=0时，函数y=g（x）的一个单调递增区间为：[﹣，]．故选：B．9．已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴正半轴，终边落在第二象限，A（x，y）是其终边上一点，向量=（3，4），若⊥，则tan（α+）=（）A．7B．C．﹣7D．【分析】根据平面向量垂直时数量积为0求出tanα，再利用两角和的正切公式求值即可．【解答】解：∵=（x，y），向量=（3，4），且⊥，∴3x+4y=0，则=﹣，∴tanα=﹣，∴tan（α+）===．故选：D．第9页（共20页）10．已知直线y=1﹣x与双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线交于A，B两点，且过原点和线段AB中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【分析】求得双曲线的渐近线方程，将直线y=1﹣x联立，求得交点A，B的坐标，可得中点坐标，由直线的斜率公式计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线ax2+by2=1（a＞0，b＜0）的渐近线方程为y=±x，把y=1﹣x代入y=±x，可得A（，），B（，），可得AB的中点M为（，）由过原点和线段AB中点的直线的斜率为，即有kOM===，故选：A．11．已知函数f（x）=满足条件，对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．当f（2a）=f（3b）成立时，则实数a+b=（）A．B．﹣C．+3D．﹣+3【分析】根据条件得到f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，得到a，b的关系进行求解即可．【解答】解：若对于∀x1∈R，存在唯一的x2∈R，使得f（x1）=f（x2）．∴f（x）在（﹣∞，0）和（0，+∞）上单调，则b=3，且a＜0，由f（2a）=f（3b）得f（2a）=f（9），即2a2+3=+3=3+3，即a=﹣，则a+b=﹣+3，第10页（共20页）故选：D．12．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn、Tn，且，则使得为整数的正整数的n的个数是（）A．3B．4C．5D．6【分析】由等差数列{an}、{bn}，利用等差数列的性质表示出an和bn，将分子分母同时乘以n，将表示出的an与bn代入，再利用等差数列的前n项和公式变形，根据已知的等式化简，整理后将正整数n代入进行检验，即可得到为整数的正整数的n的个数．【解答】解：∵等差数列{an}、{bn}，∴an=，bn=，∴===，又=，∴==7+，经验证，当n=1，3，5，13，35时，为整数，则使得为整数的正整数的n的个数是5．故选C．二、填空题13．用分层抽样的方式对某品牌同一批次两种型号的产品进行抽查，已知样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，则该批次产品总数为4800．【分析】求出抽样比，然后求解即可．【解答】解：样本容量为80，其中有50件甲型号产品，乙型号产品总数为1800，可得抽样比为：=，该批次产品总数为：=4800．故答案为：4800；第11页（共20页）14．函数f（x）=lnx﹣x2的单调增区间是（0，1]．【分析】先求出其导函数，再求出导函数大于等于0的区间即可得到其单调递增区间．（注意是在定义域内找增减区间，避免出错）【解答】解：由题得：x＞0∵；∴f′（x）=﹣x=；所以：f′（x）≥0⇒≥0⇒0＜x≤1．∴函数的单调递增区间是：（0，1]．故答案为：（0，1]．15．已知等差数列{an}的公差为2，前n项和为Sn，且S1，S2，S4成等比数列，数列{an}的通项公式an=2n﹣1．【分析】设等差数列{an}的首项