2014通辽市高三4月模拟理数答案

【数学试卷·参考答案第1页(共6页)理科】·14-02-126C·2014年通辽市高三420模拟考试数学试卷参考答案(理科)1．C∵A＝{x|－2＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，∴(RA)∩B＝{x|1≤x＜3}．2．Bz＝1－ai1＋i＝1－a－（a＋1）i2，则1－a2＝－1，得a＝3，∴z的虚部为－2.3．C由3sin2α＝2cosα得sinα＝13.因为π2＜α＜π，故cos(α－π)＝－cosα＝1－（13）2＝232.4．A由题意知椭圆的一个焦点为(－2，0)，则m＝22＋2＝6，则椭圆C的长轴长为26.5．B约束条件对应的区域如图所示．当直线z＝2x＋y过点A(2，2)时，z取得最大值6，当直线z＝2x＋y经过B(1，1)时，z取得最小值3，故最大值与最小值的比值为2，选B.6．A若选0，则有C12A23＝12个；若不选0，则有C12C23A33＝36个．共有12＋36＝48个．7．Ak＝2，S＝4；k＝3，S＝11；k＝4，S＝26；k＝5，S＝57，输出结果，判断框内填“k＞4？”．8．B∵a＝log1323＜log1333＝12，b＝log1213＞1，12＜c＝(12)0.3＜1，∴bca.9．D由三视图可知该几何体是一个长、宽、高分别为6、4、1的长方体和一个底面积为12×4×5、高为2的三棱柱组合而成，其体积V＝1×4×6＋12×4×5×2＝44（cm3）.10．B将f(x)＝3sin2x－cos2x＝2sin(2x－π6)的图象向左平移m个单位，得函数g(x)＝2sin(2x＋2m－π6)的图象，则由题意得2×π6＋2m－π6＝kπ＋π2(k∈Z)，即有m＝kπ2＋π6(k∈Z)，∵m－π2，【数学试卷·参考答案第2页(共6页)理科】·14-02-126C·∴当k＝－1时，mmin＝－π3.11．C取PF1的中点M，连结MF2，∵|PF2|＝|F1F2|，∴F2M⊥PF1，∴|PM|2＋|F2M|2＝|PF2|2，∵|PF1|－|PF2|＝2a，∴|PF1|＝2a＋2c，∴(a＋c)2＋(2a)2＝(2c)2，解得：c＝5a3，∴e＝53.12．D依题意，函数g(x)＝loga(a2x＋t)(a＞0，a≠1)在定义域R上为单调递增函数，且t≥0，而t＝0时，g(x)＝2x不满足条件②，所以t＞0.设存在[m，n]，使得g(x)在[m，n]上的值域为[m，n]，所以loga（a2m＋t）＝m，loga（a2n＋t）＝n，即a2m＋t＝am，a2n＋t＝an，所以m，n是方程(ax)2－ax＋t＝0的两个不等实根，所以Δ＝1－4t＞0，解得0＜t＜14，故选D.13.－212设所求系数为a，则由二项展开式的通项公式，知存在非负整数r，使Cr9(x2)9－r(－12x)r＝ax9，即(－1)rCr9·(12)rx18－3r＝ax9.所以，得18－3r＝9，a＝（－1）r·（12）rCr9，解得r＝3，所求系数为a＝－18C39＝－212.14．－1f(m)＝214(1)mxdx＝(x＋4x)m1＝m＋4m－5≥4－5＝－1，当且仅当m＝2时等号成立．15.1依题意，|OA→|＝|OC→|＝|AB→|＝2，OA→·OC→＝2×2cos∠AOC＝1，cos∠AOC＝12，∠AOC＝π3，则|AC→|＝|OA→|＝|OC→|＝2，∠BAC＝π3，AB→·AC→＝2×2cos∠BAC＝1.16．3tanCtanA＋tanCtanB＝tanC(cosAsinA＋cosBsinB)＝tanC·sin（A＋B）sinA·sinB＝sin2CcosC·sinA·sinB＝c2a2＋b2－c22ab·ab＝2c2a2＋b2－c2＝1，变形得a2＋b2c2＝3.17．解：(1)∵Sn＋an＝1，Sn＋1＋an＋1＝1，∴Sn＋1－Sn＋an＋1－an＝0，an＋1＝12an，由S1＋a1＝1得a1＝12，∴数列{an}是首项为12，公比为12的等比数列，∴an＝(12)n.(5分)【数学试卷·参考答案第3页(共6页)理科】·14-02-126C·(2)∵bn＋log2an＝0，an＝(12)n，∴bn＝－log2an＝log12an＝log12(12)n＝n，∴1bnbn＋1＝1n（n＋1）＝1n－1n＋1，∴Tn＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.(12分)18．(1)证明：∵BP、BA、BC两两垂直，故以B为原点，分别以BA，BC，BP为x，y，z轴建立空间直角坐标系B－xyz，则B(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，∵∠PAB＝45°，∴BA＝BP，∴P(0，0，2)．又∵E，F，D分别是BA，BC，AC中点，∴E(1，0，0)，F(0，1，0)，D(1，1，0)．∴EF→＝(－1，1，0)，PD→＝(1，1，－2)，EF→·PD→＝0，EF⊥PD.(6分)(2)解：设平面EPF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，PF→＝(0，1，－2)，则n·EF→＝0，n·PF→＝0，∴－x2＋y2＝0，y2－2z2＝0.令y2＝2，则x2＝2，z2＝1，∴n＝(2，2，1)．平面PBF的一个法向量为BA→＝(2，0，0)，设二面角E－PF－B的平面角为φ，则cosφ＝n·BA→|n|·|BA|＝23，sinφ＝53，tanφ＝52,∴二面角E－PF－B大小的正切值为52.(12分)19．解：(1)众数：8.6；中位数：8.75.(3分)(2)设Ai表示所取3人中有i个人是“极安全”，至多有1人是“极安全”记为事件A，则P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝C312C316＋C14C212C316＝121140.(7分)(3)X的可能取值为0、1、2、3.P(X＝0)＝(34)3＝2764；P(X＝1)＝C1314(34)2＝2764；P(X＝2)＝C23(14)234＝964；P(X＝3)＝(14)3＝164.分布列为X0123P27642764964164E(X)＝0×2764＋1×2764＋2×964＋3×164＝0.75.(12分)另解：X的可能取值为0、1、2、3，【数学试卷·参考答案第4页(共6页)理科】·14-02-126C·X～B(3，14)，P(X＝k)＝Ck3(14)k(34)3－k.分布列为X0123P(34)3C13(14)1(34)2C23(14)2(34)1(14)3所以E(X)＝3×14＝0.75.(12分)20．解：(1)如图，设抛物线的准线为l，过P作PE⊥l于E，过A作AF⊥l于F.由抛物线定义知|PF|＝|PE|⇒|PA|＋|PF|＝|PA|＋|PE|≥|AF|，当且仅当A，P，E三点共线取等号．由题意知|AF|＝8，即4＋p2＝8⇒p＝8⇒抛物线的方程为y2＝16x.(4分)(2)假设存在点M，设过点M的直线方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，设B(x1，y1)，C(x2，y2)，由以BC为直径的圆恰过坐标原点有OB→·OC→＝0⇒x1x2＋y1y2＝0，①把y＝kx＋b代入y2＝16x得k2x2＋2(bk－8)x＋b2＝0，由韦达定理知x1＋x2＝－2（bk－8）k2，x1x2＝b2k2，②又y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2，③②代入③得y1y2＝16bk，④②④代入①得b2k2＋16bk＝0⇒b＝－16k.(9分)⇒动直线方程为y＝kx－16k＝k(x－16)必过定点(16，0)．当kBC不存在时，直线x＝16交抛物线于B(16，－16)，C(16，16)，仍然有OB→·OC→＝0，综上：存在点M(16，0)满足条件．(12分)21．解：(1)F′(x)＝f′(x)－g′(x)＝2(x－ex)＝2（x2－e）x(x＞0)，令F′(x)＝0，得x＝e(x＝－e舍)，∴当0＜x＜e时，F′(x)＜0，F(x)在(0，e)上单调递减；当x＞e时，F′(x)＞0，F(x)在(e，＋∞)上单调递增．∴当x＝e时，F(x)有极小值，也是最小值，【数学试卷·参考答案第5页(共6页)理科】·14-02-126C·即F(x)min＝F(e)＝e－2elne＝0.∴F(x)的单调递增区间为(e，＋∞)，单调递减区间为(0，e)，最小值为0.（6分）(2)由(1)知，f(x)与g(x)的图象有且仅有一个公共点(e，e)，∴猜想：一次函数的图象就是f(x)与g(x)的图象在点(e，e)处的公切线，其方程为y＝2ex－e.下面证明：当x＞0时，f(x)≥2ex－e，且g(x)≤2ex－e恒成立．∵f(x)－(2ex－e)＝(x－e)2≥0，∴f(x)≥2ex－e对x＞0恒成立．又令G(x)＝2ex－e－g(x)＝2ex－e－2elnx，∴G′(x)＝2e－2ex＝2e（x－e）x，∴当0＜x＜e时，G′(x)＜0，G(x)在(0，e)上单调递减；当x＞e时，G′(x)＞0，G(x)在(e，＋∞)上单调递增．∴当x＝e时，G(x)有极小值，也是最小值，即G(x)min＝G(e)＝2e－e－2elne＝0，∴G(x)≥0，即g(x)≤2ex－e恒成立．故存在一次函数y＝2ex－e，使得当x＞0时，f(x)≥2ex－e，且g(x)≤2ex－e恒成立.（12分）22．解：(1)连结AB，∵∠APO＝30°，∴∠AOB＝60°.∵OA＝OB，∴∠ABO＝60°.∵∠ABC＝∠AEC，∴∠AEC＝60°.(5分)(2)由条件知AO＝2，过A作AH⊥BC于H，AH＝3.在Rt△AHD中，HD＝2，∴AD＝7.∵BD·DC＝AD·DE，∴DE＝377.∴AE＝AD＋DE＝1077.(10分)23．解：(1)设动点A的直角坐标为(x，y)，则x＝2－3sinα，y＝3cosα－2，∴动点A的轨迹方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝9，其轨迹是圆心为(2，－2)，半径为3的圆．(5分)(2)直线C的极坐标方程ρcos(θ－π4)＝a化为直角坐标方程是2x＋2y＝2a，由|22－22－2a|2＝3，得a＝3或a＝－3.(10分)24．解：(1)由f(x)≤a，得1－a2≤x≤1＋a2.【数学试卷·参考答案第6页(共6页)理科】·14-02-126C·因为不等式f(x)≤a的解集为{x|0≤x≤1}，所以1－a2＝0，1＋a2＝1，解得a＝1.(5分)(2)由g(x)＝1f（x）＋f（x＋1）＋m＝1|2x－1|＋|2x＋1|＋m的定义域为R知：对任意实数x，有|2x－1|＋|2x＋1|＋m≠0恒成立．因为|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，所以m＞－2.(10分)