2014高三数学总复习6-3等比数列72张(人教A版)2

第六章数列第六章第三节等比数列基础梳理导学思想方法技巧课堂巩固训练4考点典例讲练3课后强化作业5基础梳理导学重点难点引领方向重点：等比数列的定义、通项公式、前n项和及等比数列的基本性质．难点：等比数列的应用．夯实基础稳固根基1．等比数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列．前2．等比数列的通项公式an＝a1·qn－1(n∈N*)．推导方法：累乘法：anan－1·an－1an－2……a3a2·a2a1＝qn－1.3．等比数列的前n项和当q＝1时，Sn＝na1，当q≠1时．Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.推导方法：乘公比、错位相减法．4．等比中项如果三个数a、G、b成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项，即G2＝ab.5．等比数列的主要性质(1){an}是等比数列⇒{c·an}是等比数列(c≠0)．(2){an}{bn}均为等比数列⇒{an·bn}、{anbn}是等比数列．(3){an}为等比数列，则aman＝______.(4)若m、n、p、q∈N*且m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq.特别地，a1an＝a2an－1＝a3an－2＝…qm－n(5)等间隔的k项和(或积)仍成等比数列．例如：{an}是等比数列，则①a1，a3，a5，…，a2n－1；②a1＋a2，a2＋a3，a3＋a4，…；③a1a2，a2a3，a3a4，…；④a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6……均成等比数列．(6)a2n＝an－k·an＋k(1≤kn，n、k∈N*)．(7){an}是等比数列，则{a2n}、{an}(an0)、{1an}、{|an|}均为等比数列．(8)非零常数列既是等差数列，也是等比数列．(9)若{an}是等差数列，b0，则{ban}是等比数列．若{an}是正项等比数列，则{lgan}是等差数列．(10)等比数列{an}的单调性当a10q1，或a100q1时，{an}为递增数列，当a100q1，或a10q1时，{an}为递减数列．疑难误区点拨警示1．命题A：G是a、b的等比中项，BG＝ab，A既不是B的充分条件，也不是B的必要条件．2．在应用等比数列的前n项和公式时，一定要对q＝1与q≠1进行分类讨论．3．等比数列中隐含着各项不为零、公比不为零，项与公比的符号有着密切的联系，解题时应特别注意．4．若m、n、r∈N*且m＋n＝2r，{an}为等比数列，则am·an＝a2r，不是am·an＝a2r，也不是am＋an＝a2r.思想方法技巧一、方程的思想等比数列中有五个量a1、n、q、an、Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解．二、分类讨论思想当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝a11－qn1－q＝a1－anq1－q.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，此处是常考易错点．三、解题技巧1．等比数列的判定方法(1)an＋1an＝q(q是不为0的常数，n∈N*，an≠0)⇔{an}是等比数列，证明一个数列是等比数列时主要用此方法．(2)an＝cqn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(3)a2n＋1＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}是等比数列．(4)Sn＝A·qn－A(A、q为常数且A≠0，q≠0,1)⇔{an}是公比不为1的等比数列．2．一般地，{an}是等差数列，{bn}是等比数列(公差d≠0，公比q≠1)，cn＝anbn，求数列{cn}前n项的和用“乘公比、错位相减法”．考点典例讲练[例1](2012·安徽文，5)公比为2的等比数列{an}的各项都是正数，且a3a11＝16，则a5＝()A．1B．2C．4D．8等比数列的概念与通项公式解析：本题考查了等比数列的概念及基本运算．∵公比为2且a3a11＝16，∴a1×22×a1×210＝16，∴a21×212＝16，又∵an0，∴a1×26＝4，而a5＝a1·24，a5＝1.答案：A点评：解决此题应紧紧围绕等比数列定义及通项公式去做．本题应用等比数列性质求解更简便：a27＝a3·a11＝16，∵a70，∴a7＝4，又q＝2，∴a5＝a722＝1.(2011·广东文，11)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4，则此数列的公比q＝________.解析：∵a4＝a2q2＝2q2，a3＝a2q＝2q，a4－a3＝4，∴2q2－2q＝4，∴q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1.∵{an}为递增数列，∴q＝2.答案：2[例2](2011·浙江金华联考)已知正项数列{an}为等比数列，且5a2是a4与3a3的等差中项，若a2＝2，则该数列的前5项的和为()A.3312B．31C.314D．以上都不正确等比数列的前n项和公式分析：由等差中项的条件和a2可建立方程求出公比q及a1，再由求和公式求和．解析：设{an}的公比为q，q0.由已知得a4＋3a3＝2×5a2＝10a2，即a2q2＋3a2q＝10a2，∵a2＝2，∴q2＋3q－10＝0，解得q＝2或q＝－5(舍去)，则a1＝1，∴S5＝a11－q51－q＝1×1－251－2＝31.答案：B点评：在数列问题中，列方程时可以列出首项和公比(公差)的方程求解(这是一般方法)，更要能够结合题目特点灵活掌握．(文)在等比数列{an}中，已知a6－a4＝24，a3a5＝64.则{an}前8项的和S8＝________.解析：因为{an}是等比数列，所以依题设条件得a24＝a3·a5＝64.∴a4＝±8.∵{an}是等比数列，∴q2＝a6a40，故a4＝－8舍去，得a4＝8，∴a6＝a4＋24＝32，从而a5＝±a4×a6＝±16，公比q的值为q＝a5a4＝±2.当q＝2时，得a1＝1，所以S8＝a11－q81－q＝255；当q＝－2时，得a1＝－1，所以S8＝a11－q81－q＝85.故答案为：S8＝255或85.答案：255或85(理)(2012·大纲全国，6)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn＝()A．2n－1B．(32)n－1C．(23)n－1D.12n－1解析：本题考查了数列的通项公式及求和公式．由a1＝1，Sn＝2an＋1知S1＝a1＝2a2，∴a2＝12.而当n≥2时Sn－1＝2an，所以Sn－Sn－1＝2an＋1－2an即3an＝2an＋1，∴an＋1an＝32，∴an＝1，n＝1，1232n－2，n≥2.所以{an}前n项和Sn＝1＋12－1232n－11－32＝(32)n－1.答案：B点评：作为选择题，本题可直接验证S2排除选项.[例3](2011·浙江杭州月考)正项等比数列{an}中，若log2(a2a98)＝4，则a40a60等于()A．－16B．10C．16D．256分析：观察条件与待求项中的下标可以发现2＋98＝40＋60，故可利用等比数列的性质求解．等比数列的性质解析：由log2(a2a98)＝4，得a2a98＝24＝16，则a40a60＝a2a98＝16.答案：C点评：在解决有关等差(比)数列的几项的和(或积)的问题时，一般先观察一下其下标的构成是否有规律，如果存在某种规律，大多可用性质简化解题过程．(文)(2011·日照二模)在等比数列{an}中，若a9＋a10＝a(a≠0)，a19＋a20＝b，则a99＋a100＝________.分析：由条件式中下标的构成规律可知，可利用等比数列的性质求解．解析：因为{an}是等比数列，所以a9＋a10，a19＋a20，…，a99＋a100成等比数列，从而得a99＋a100＝b9a8.答案：b9a8(理)(2011·福州模拟)已知由正数组成的等比数列{an}，公比q＝2，且a1·a2·…·a30＝230，则a3·a6·a9·…·a30＝()A．210B．220C．216D．215解析：不妨设a3·a6·a9·…·a30＝c，则a1·a4·a7·…·a28＝c220，a2·a5·a8·…·a29＝c210，因为a1·a2·…·a30＝230，因此c3230＝230，∴c＝220.答案：B点评：由等比数列的性质可知，P＝a1a4a7…a28，Q＝a2a5a8…a29，R＝a3a6a9…a30，构成等比数列，∴Q2＝PR，PQR＝Q3，抓住规律思路就开阔了.[例4]设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且－a1，Sn，an＋1成等差数列．(1)求{an}的通项公式；(2)设bn＝1－Sn，问：是否存在a1，使数列{bn}为等比数列？若存在，求出a1的值；若不存在，请说明理由．等比数列的判断与证明解析：(1)依题意，得2Sn＝an＋1－a1.当n≥2时，有2Sn－1＝an－a1.两式相减，得an＋1＝3an(n≥2)．又因为a2＝2S1＋a1＝3a1，an≠0，所以数列{an}是首项为a1，公比为3的等比数列．因此，an＝a1·3n－1(n∈N*)．(2)因为Sn＝a11－3n1－3＝12a1·3n－12a1，bn＝1－Sn＝1＋12a1－12a1·3n.要使{bn}为等比数列，当且仅当1＋12a1＝0，即a1＝－2.所以存在a1＝－2，使数列{bn}为等比数列．点评：证明一个数列是等比数列，常用方法是：(1)证明对于任意自然数n，an＋1an都等于同一个常数即可．(2)对于一个数列，若除了首项和末项(有穷数列)外，任何一项都是它的前后两项的等比中项，则此数列即为等比数列．(文)已知数列{an}的首项a1＝a，an＝12an－1＋1(n∈N*，n≥2)．若bn＝an－2(n∈N*)．(1)问数列{bn}是否能构成等比数列？并说明理由．(2)若已知a1＝1，设数列{an·bn}的前n项和为Sn，求Sn.解析：(1)b1＝a1－2＝a－2，an＝bn＋2，∴bn＋2＝12(bn－1＋2)＋1，即bn＝12bn－1.所以，当a≠2时，数列{bn}能构成等比数列；当a＝2时，数列{bn}不能构成等比数列．(2)当a＝1时，得bn＝－(12)n－1，an＝2－(12)n－1，anbn＝(14)n－1－2(12)n－1，所以Sn＝1－14n1－14－21－12n1－12＝43(1－14n)－4(1－12n)＝－83－43·14n＋42n.点评：证明数列{an}为等比数列的方法：(1)证明an＋1an＝q(q是与n值无关的非零常数)．(2)证明a2n＝an＋1an－1(n≥2，n∈N)．(理)已知数列{an}和{bn}满足a1＝m，an＋1＝λan＋n，bn＝an－2n3＋49.(1)当m＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．(2)当λ＝－12时，试判断数列{bn}是否为等比数列．解析：(1)证明：当m＝1时，a1＝1，a2＝λ＋1，a3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2.假设数列{an}是等差数列，由a1＋a3＝2a2得，λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－30，∴方程无实根．故对于任意的实数λ，数列{an}一定不是等差数列．(2)当λ＝－12时，an＋1＝－12an＋n，bn＝an－2n3＋49.bn＋1＝an＋1－2n＋13＋49＝－12an＋n－2n＋13＋49＝－12an＋n3－29＝－12an－2n3＋49＝－12bn.又b1＝m－23＋49＝m－29，∴当m≠29时，数列{bn}是以m－29为首项，－12为公比的等比数列；当m＝29时，数列{bn}不是等比数列．点评：对于否定型命题，通常采用分析法或反证法证明，对这些证明方法与解题思路要灵活掌握．课堂巩固训练一、选择题1．(2013·唐山一中第一学期第二次月考)已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3＝5，a7a8a9＝10，则a4a5a6＝()A．52B．7C．6