4.1-向量组及其线性相关性

第4章向量空间与线性空间4.1向量组及其线性相关性4.4向量空间4.3线性方程组解的结构4.5n维Euclid空间4.6线性空间及其线性变换4.2向量组的秩4.1向量组及其线性相关性4.1.1n维向量4.1.2向量组的线性表示4.1.3向量组的线性相关性内容小结向量组的线性相关性3/36线性方程组的解其实是列向量.4.1.1n维向量结构,就必须研究向量的基本性质以及向量间的关系.ai(i1,2,,n)称为向量的第i个分量.为了清晰地表示解的列向量和行向量统称为n维向量,12(,,,)naaa12naaa列向量就是列矩阵,行向量就是行矩阵.向量组的线性相关性4/36分量全为零的向量称为零向量,通常记为0.分量全为实数的向量称为实向量,分量为复数的向量称为复向量.全体n维实(或复)向量的集合记为n(或n).用n代表n(或n).向量组的线性相关性5/36例如第1个分量第n个分量第2个分量是n维实向量,(1,2,3,,n)(12i,23i,,n(n1)i)是n维复向量.向量组的线性相关性6/361.n维向量是平面向量和空间向量的推广.2.行向量和列向量总被看作是两个不同的向量.当未说明是行向量还是列向量时,都当作列向量.3.行向量和列向量都是按矩阵的运算法则来运算.4.n维向量的加法和数乘满足矩阵线性运算的八条运算规律:向量组的线性相关性7/36;αββα(1)()();αβγαβγ(2);ααα(0)03,,;nnαβαβ(4)0对任何都有使得FF1;αα(5)()();klklαα(6)();klklααα(7)()kkkαβαβ(8).负向量零向量向量组的线性相关性8/36即解13050240,130bca130,2,413baαβγ例4.1设向量满足5,cαβγ0求常数a,b,c将代入,,αβγ5,cαβγ0得向量组的线性相关性9/36即5300240,530cbcac530,240,530,cbcac解得1,1,2abc.向量组的线性相关性10/3611121121222212jmjmnnnjnmaaaaaaaaaaaaA2α1αjαmα若干个同维数的列向量(或同维数的行向量)所构成的组叫做向量组．例如,矩阵[]ijnmaA有m个n维列向量向量组12,,,mααα称为矩阵A的列向量组.2α1αjαmα4.1.2向量组的线性表示向量组的线性相关性11/3611121212221212,mmiiimnmnmaaaaaaaaaaaaAT1βT2βTiβTnβ向量组称为矩阵A的行向量组.TTT12,,,nβββT1β类似地,矩阵A[aij]nm有n个m维的行向量T2βTiβTnβ向量组的线性相关性12/36反之,有限个向量的向量组也可以构成一个矩阵.有限个向量的向量组与矩阵一一对应.例如m个n维列向量构成nm矩阵:12,,,mααα12[];mAαααm个n维行向量构成mn矩阵:TTT12,,,mβββT1T2TmββBβ.向量组的线性相关性13/36如果将nm矩阵A按列分块为则线性方程组Axb可变成1122mmxxxαααb.于是,方程组有解等价于存在一组数c1,c2,,cm,使得1122,mmcccαααb即b可由A的列向量组的线性运算来表示.12[],mAααα向量组的线性相关性14/361122,mmkkkβααα则称β可由向量组线性表示,12,,,mααα向量组的线性组合.12,,,mααα或称为β定义4.1给定向量和向量组12,,,,mααα若存在一β12,,,,mkkk使得组数12,,,mkkk称为该线性组合的系数.向量组的线性相关性15/36定理4.1设有n维向量组和n维向量,,,mααα,b记则下列三个命题等价:12[],mAααα(1)向量可由向量组线性表示;,,,mααα(2)线性方程组有解;Axbrankrank[]AAb(3).推论4.2向量可由向量组线性表示、且,,,mαααrankrank[]mAAb.表示式唯一当且仅当bb向量组的线性相关性16/36证明n中任意向量都可由基本向量12100010,,,001neee例4.2n维向量组称为基本向量组.组线性表示.向量组的线性相关性17/36因为解记123[],Aααα12311100121,,,,01213211αααβ例4.3设问能否由线性表示?若能,请写出表示式.123,,αααβ123[][]Aβαααβ.向量组的线性相关性18/3511100121[]01213211Aβ线性表示.123,,ααα于是向量能由向量组β所以rankrank[]2,AAβ由最简阶梯矩阵得同解方程组10110121,0000000013231,21,xxxx向量组的线性相关性19/36123121,xcxcxc从而得表示式123(1)(21),cccβααα其中c可取任意数得方程组的通解向量组的线性相关性20/36如果将nm矩阵A按列分块为12[],mAααα则齐次方程组Ax0变成1122mmxxxααα0.从而Ax0有非零解当且仅当存在一组不全为零的数c1,c2,,cm,使得1122mmcccααα0.4.1.3向量组的线性相关性向量组的线性相关性21/36定义4.2给定向量组12,,,,mααα若存在不全为零的数则称向量组12,,,mααα线性相关,12,,,,mkkk使得1122,mmkkkααα0否则称为线性无关.注1.若向量组12,,,mααα线性无关,则只有k1k2km0时,才有1122mmkkkααα0成立.2.一个向量组是否线性相关称为它的线性相关性.3.含零向量的向量组必定线性相关.向量组的线性相关性22/36则下列三个命题等价:定理4.3设有向量组,记,,,mααα12[],mAααα(1)向量组线性相关;,,,mααα(2)齐次线性方程组有非零解;Ax0rank,mAA(3).即的秩小于向量组中向量的个数(1)向量组线性无关;,,,mααα(2)齐次线性方程组只有零解;Ax0rank,mAA(3).即的秩等于向量组中向量的个数下列三个命题也等价:向量组的线性相关性23/36注4.一个向量线性相关当且仅当αα0.6.2或3中两个向量线性相关等价于两个向量共线;3中三个向量线性相关等价于三个向量共面.5.向量组线性相关等价于对应分量成比例.12,αα12,ααk1k2k1k2k1k210向量组的线性相关性24/36表示式唯一当且仅当向量线性无关、向量,,,mααα组线性相关.,,,,mαααβ推论4.4向量能由向量组线性表示、且β,,,mααα例4.4证明n维基本向量e1,e2,,en线性无关.向量组的线性相关性25/36例4.5讨论下述向量组的线性相关性:123412012130,,,25141131αααα.解1201213025141131Α记1234[],Aαααα对A做初等行变换:12010112,00040000即知rank34,A因此向量组线性相关.1234,,,αααα向量组的线性相关性26/36则该向量组必定线性相关.推论4.5对于n维向量组如果,,,,mααα,mn这个推论的逆命题不成立.例如,在例4.5中,向量组线性相关,但是1234,,,αααα向量组的向量个数等于向量的维数.向量组的线性相关性27/36推论4.6若一个向量组线性无关,则它的每个部分组都线性无关;若一个向量组的某个部分组线性相关,则该向量组线性相关.一个向量组中一部分向量构成的组称为部分组.向量组的线性相关性28/36将n维向量组(I)中每个向量都添加s个分量(s1,且添加分量的位置对每个向量都完全一致)得到ns维向量组(II),则称(II)为(I)的升维组,也称(I)为(II)的降维组.例如,12211,,,1,2,,,jjjjjjnjnjnjajmaaaaaaαβ1212(I):,,,;(II):,,,,mmαααβββ令则(II)是(I)的升维组,(I)是(II)的降维组.向量组的线性相关性29/36推论4.7若一个向量组线性无关,则它的升维组线性无关;若一个向量组线性相关,则它的降维组线性相关.该推论的逆命题不成立,例如,向量组线性相关,10,00升维组线性无关.100,001向量组的线性相关性30/36例4.6112223111,,,,,mmmmmβααβααβααβαα12,,,(2)mmααα已知向量组线性无关,设讨论12,,,mβββ的线性相关性.解11231,,,(1)2,mmmmββββα0为偶数为奇数因此,当m为偶数时,12,,,mβββ线性相关.由已知条件得之间的线性关系:12,,,mβββ当m为奇数时,记121[],mAαααα则rankAm,向量组的线性相关性31/36将A中第j1列加到第j列(j1,2,,m),得到于是有121[]mBβββα.先将B中第m1列乘以2,再将B中第j列的1(1)j倍加到第m1列(j1,2,,m),得12[]mCβββ0.rankrankrank,mCBA12,,,mβββ线性无关.所以12rank[]mβββ向量组的线性相关性32/36定理4.8(1)向量组线性相关当且仅,,,(2)mmααα当其中至少有一个向量能由其余m1个向量线性表示.任何一个向量都不能由其余m1个向量线性表示.(2)向量组线性无关当且仅当其中,,,(2)mmααα注1.线性相关的含义:线性相关的向量之间有线性表示关系,线性无关的向量之间则无线性表示关系.2.向量组线性相关时,并非每个,,,(2)mmααα向量都是其余向量的线性组合.向量组的线性相关性33/361210,00αα线性相关,但是,不能由线性表示.1α2α例如,向量组向量组的线性相关性34/36定理4.9矩阵的初等行(列)变换不改变列(行)向量之间的线性相关性和线性组合关系.证设矩阵A经过有限次初等行变换化为B.任取A的s个列向量,构成的矩阵记为A1,B中对应的从而A1的与B1的列向量组或者同为线s个列向量构成的矩阵记为B1,则齐次方程组A1x0与B1x0同解,性相关或者同为线性无关,即具有相同的线性相关性.设A的第j列可由其余各列线性表示,jα记B的第j列向量组的线性相关性35/36则方程组有解,2jAyα有相同的线性组合关系.,jβ为并用A2和B2分别表示A和B中除第j列外其余各列构成的矩阵,从